Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

Вращающийся вокруг вертикальной оси однородный шар радиуса $R = 10\,\text{см}$ аккуратно положили в круглое отверстие радиуса $r_1 = 8{,}0\,\text{см}$ , проделанное в тонкой горизонтальной плите. Вращение шарика прекратилось через время $t_1 = 12\,\text{с}$ . Через какое время остановится этот же шар, если его раскрутить до той же начальной скорости и положить в отверстие радиуса $r_2 = 6{,}0\,\text{см}$ ?

Шар радиуса R, вращающийся вокруг вертикальной оси (стрелка вращения сверху), над горизонтальной плитой с круглым отверстием радиуса r; вектор g направлен вниз.

Отговори

Решение

При вращении кинетическая энергия шара вследствие работы сил трения перейдет в тепловую. Работа сил трения может быть рассчитана по формуле

A = F V_{\text{ср.}} t, \qquad (1)

где $F$ - сумма модулей сил трения, действующих на отдельные участки линии соприкосновения шара и плиты; $V_{\text{ср.}} = \dfrac{\omega_0 r}{2}$ - средняя скорость движения точек соприкосновения, $\omega_0$ - начальная угловая скорость вращения (так как все силы действующие на шарик постоянны, то его движение будет равнозамедленным, следовательно средняя скорость до остановки равна половине начальной); $t$ - время движения. Величину $F$ найдем по закону Кулона-Амонтона

Сечение шара в отверстии: силы нормальной реакции N под углом α к вертикали, сила тяжести mg, радиус отверстия r, сила трения F_тр.

F = \mu N, \qquad (2)

где $N$ - суммарная сила нормальной реакции плиту, действующей на шарик. Так как центр масс шарика покоится, сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей сил реакции

mg = N\cos\alpha = N\frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R}, \qquad (3)

откуда следует

N = mg\frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}}. \qquad (4)

Подставив выражения (2)-(4) в формулу (1), получим

A = \mu mg\frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} \cdot \frac{\omega_0 r}{2} t. \qquad (5)

Начальные скорости вращения шарика в обоих случаях равны, поэтому равны и его кинетические энергии, следовательно, равны и работы сил трения. Таким образом, из уравнения (5) следует соотношение

\frac{r_1 t_1}{\sqrt{R^2 - r_1^2}} = \frac{r_2 t_2}{\sqrt{R^2 - r_2^2}}, \qquad (6)

из которого находим окончательный ответ задачи

\boxed{t_2 = \frac{r_1\sqrt{R^2 - r_2^2}}{r_2\sqrt{R^2 - r_1^2}} t_1 \approx 21\,\text{с}}.

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf