Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

Рассмотрите свойства идеального кристалла с кубической решеткой, образованного одинаковыми атомами массой $m$ . Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов зависит от расстояния между их центрами $r$ по закону $U(r) = \dfrac{a}{r^{12}} - \dfrac{b}{r^6}$ , где $a, b$ - некоторые положительные константы. Выразите через параметры $a, b, m$ следующие характеристики кристалла:

а) плотность $\rho$ ;

б) удельную теплоту сублимации (перехода из кристаллического в газообразное состояние) $\lambda$ ;

в) модуль Юнга кристалла $E$ ;

г) предел прочности на разрыв (максимальное механическое напряжение, который может выдержать кристалл без разрушения) - $\sigma_{\text{пр.}}$ ;

д) максимальное относительное удлинение кристалла до его разрушения $\varepsilon_{\text{пр.}}$ ;

е) линейный коэффициент термического расширения кристалла $\alpha$ .

(Сила взаимодействия двух тел связана с потенциальной энергией соотношением $F = -U'_r$ , где $U'_r$ - производная энергии по $r$ . При расчете всех характеристик можно учитывать взаимодействие атома только с его ближайшими соседями. Рекомендуем использовать приближенную формулу, справедливую при малых величинах $x$ : $(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2$ , в которой вы можете использовать столько членов, сколько требуется в конкретной ситуации. Увеличение размеров тела при нагревании описывается формулой $l = l_0(1 + \alpha\Delta T)$ , где $\alpha$ - линейный коэффициент термического расширения).

Отговори

Решение

Вычислим силу взаимодействия между двумя атомами как функцию расстояния между ними

f = -U' = \frac{12a}{r^{13}} - \frac{6b}{r^7}. \qquad (1)

Положению равновесия соответствует нулевая сила взаимодействия (или, что равносильно, минимум потенциальной энергии). Поэтому равновесное расстояние между атомами (период решетки) найдем из условия $f = 0$ , из которого следует

r_0 = \left(\frac{2a}{b}\right)^{\frac{1}{6}}. \qquad (2)

На один атом в кубической кристаллическое решетке приходится объем $r_0^3$ , следовательно плотность кристалла рассчитывается по формуле

\boxed{\rho = \frac{m}{r_o^3} = m\sqrt{\frac{b}{2a}}}. \qquad (3)

Вычислим энергию связи, приходящуюся на один атом. Так как атом взаимодействует с $n = 6$ ближайшими соседями, то его потенциальная энергия

u = \frac{n}{2}U(r_0) = -\frac{3b^2}{4a}, \qquad (4)

где учтено, что функция $U(r)$ описывает энергию взаимодействия двух атомов. Для перехода из кристаллического в газообразное состояние нужно сообщить кристаллу энергию, необходимую для разрыва всех связей, иными словами, удельная теплота сублимации рассчитывается по формуле

\boxed{\lambda = -\frac{u}{m} = \frac{3b^2}{4am}}. \qquad (5)

При отклонении атомов от положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть атомы в исходное положение. При малых деформациях эта сила пропорциональна деформации. Для ее вычисления преобразуем формулу (1) при условии $r = r_0 + x$ , где $x$ - малое отклонение от положения равновесия. В ходе преобразований необходимо использовать приближенную формулу, приведенную в условии задачи с учетом членов первого порядка малости

f = \frac{12a}{(r_0 + x)^{13}} - \frac{6b}{(r_0 + x)^7} = \frac{12a}{r_0^{13}}\left(1 + \frac{x}{r_0}\right)^{-13} - \frac{6b}{r_0^7}\left(1 + \frac{x}{r_0}\right)^{-7} \approx -\frac{36b}{r_0^7} \cdot \frac{x}{r_0}. \qquad (6)

В поперечном сечении кристалла на один атом приходится площадь $r_0^2$ , следовательно, механическое напряжение в кристалле определяется формулой

\sigma = \frac{f}{r_0^2} = \frac{36b}{r_0^9} \cdot \frac{x}{r_0} = \frac{18}{\sqrt{2}}b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{x}{r_0}. \qquad (7)

Сравнивая с законом Гука $\sigma = E\varepsilon$ (где $\varepsilon = x/r_0$ - относительная деформация), получим выражение для модуля Юнга

\boxed{E = \frac{18}{\sqrt{2}}b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 12{,}8b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{2}}}. \qquad (8)

Сила взаимодействия между атомами принимает максимальное значение при некотором расстоянии $r_1$ . Если расстояние между атомами превысит $r_1$ , то сила взаимодействия (притяжения) начнет уменьшаться и, следовательно, при постоянной внешней силе кристалл разрушится. Найдем значение $r_1$ из условия $f' = 0$ :

f' = -\frac{12 \cdot 13a}{r^{14}} + \frac{6 \cdot 7b}{r^8} = 0. \qquad (9)

Из уравнения (9) находим расстояние $r_1$ , при котором сила притяжения максимальна

r_1 = \left(\frac{26a}{7b}\right)^{\frac{1}{6}}. \qquad (10)

Таким образом, максимальное относительное удлинение кристалла до разрушения определяется соотношением

\boxed{\varepsilon_{max} = \frac{r_1 - r_0}{r_0} = \left(\frac{13}{7}\right)^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0{,}11}. \qquad (11)

При таком удлинении сила взаимодействия и соответствующее механическое напряжение (которое и является предельной прочностью) определяются формулой

\boxed{\sigma_{max} = \frac{U'(r_1)}{r_0^2} = \frac{18}{\sqrt{2}}\left(\frac{13}{7}\right)^{\frac{7}{6}} b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 26{,}2b\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{3}{2}}}. \qquad (12)

Термическое расширение твердых тел связано с увеличением кинетической энергии колеблющихся атомов. С ростом температуры увеличивается диапазон изменения расстояний между атомами. Существенным фактором является несимметричность потенциальной кривой - максимальное отклонение от положения равновесия в большую сторону превышает отклонение в меньшую сторону. Обозначим максимальное и минимальное расстояния между атомами в ходе колебаний $r_1$ и $r_2$ , соответственно. Тогда среднее расстояние между атомами может быть оценено как среднее арифметическое между этими величинами. Расстояния $r_1$ и $r_2$ являются корнями уравнения

U(r) = U(r_0) + kT, \qquad (13)

где $kT$ - средняя энергия одномерного колебательного движения атомов в кристаллической решетке ( $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура). Если обозначить $x = r^{-6}$ и принять во внимание формулу (20), то уравнение (13) примет вид

ax^2 - bx + \frac{b^2}{4a} - kT = 0, \qquad (14)

корни которого находятся по формуле

x_{1,2} = \frac{b}{2a}\left(1 \pm \sqrt{\frac{4akT}{b^2}}\right). \qquad (15)

Теперь можно найти значения $r_1$ и $r_2$ :

r_{1,2} = r_0(1 \pm \delta)^{-\frac{1}{6}} \approx r_0\left(1 \mp \frac{\delta}{6} + \frac{7}{72}\delta^2\right), \qquad (16)

где обозначено $\delta = \sqrt{\dfrac{4arT}{b^2}}$ и использовано разложение степенной функции с учетом членом второго порядка малости. Среднее расстояние между атомами найдем, усредняя $r_1$ и $r_2$ :

\overline{r} = \frac{r_1 + r_2}{2} = r_0\left(1 + \frac{7}{72}\delta^2\right) = r_0\left(1 + \frac{7akT}{18b^2}\right). \qquad (17)

Сравнивая выражение (17) с формулой термического расширения $l = l_0(1 + \alpha\Delta T)$ , находим линейный коэффициент термического расширения

\boxed{\alpha = \frac{7ak}{18b^2}}. \qquad (18)

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf