Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. 10.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

На длинную непроводящую гладкую спицу нанизано очень много одинаковых непроводящих шариков. Шарики несут одинаковые по модулю электрические заряды, причем знаки зарядов чередуются. Сила электростатического взаимодействия между двумя соседними шариками равна $f_0 = 10\,\text{Н}$ . Какую минимальную силу необходимо приложить к крайнему шарику, чтобы разорвать «цепочку»? Вычислите эту силу с погрешностью, не превышающей 5%.

В каком месте разорвется цепочка, если приложить к крайнему шарику медленно возрастающую силу $\vec{F}$ ?

Цепочка шариков с чередующимися зарядами «−» и «+» на спице; к крайнему правому шарику «+» приложена сила F, направленная вправо.

Отговори

Решение

С помощью закона Кулона рассчитаем силу $\vec{f}$ , с которой притягивается каждый шарик к «полубесконечной» цепочке:

f = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\left(1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \ldots\right) \approx 0{,}81 f_0, \qquad (1)

где $\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2} = f_0$ - сила притяжения двух соседних шариков. Так как нас устраивает точность порядка 5%, то при вычислении суммы можно ограничиться 5-6 слагаемыми. Очевидно, что это и будет минимально необходимая сила для разрыва цепочки. $\boxed{F_{min} \approx 8{,}1\,\text{Н}}$

Если приложить такую силу к крайнему шарику, то он начнет смещаться.

Цепочка заряженных шариков с приложенной силой F; над цепочкой — силы f, действующие на крайние шарики влево, под цепочкой — силы f2, f3, f4, направленные вправо.

Рассмотрим теперь силы, действующие на второй шарик. Вправо на него действует сила $f_2 = f_0$ со стороны первого шарика, а влево сила $f = 0{,}81 f_0$ , поэтому второй шарик также начнет смещаться вместе с первым. На третий шарик со стороны двух крайних действует сила $f_3 = f_0\left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right) = 0{,}75 f_0$ , которая меньше, чем сила притяжения к остальным шарикам, расположенным слева. Следовательно, это шарик не сдвинется, поэтому цепочка разорвется между вторым и третьим шариками.

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf