BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. 10.3

• а) $\nu = \frac{3n}{k},\ k = 1, 2, \ldots, 15$
• б) $\nu = \frac{3n}{k + \frac{1}{2}},\ k = 0, 1, \ldots, 14$
• в) $\nu = \frac{3(n + n_1)}{k},\ k = 1, 2, \ldots, 15$

Угловая скорость вращения вентилятора рассчитывается по формуле $\omega = 2\pi n$. Вентилятор будет казаться неподвижным с тремя лопастями, если за время между вспышками $\tau$ лопасти повернутся на угол $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{3}k,\ k = 1, 2, 3\ldots$ (естественно, мы предполагаем, что все лопасти вентилятора одинаковы). Таким образом, условие будет выполнено при $2\pi n\tau = \dfrac{2\pi}{3}k$, или при частотах вспышек $\nu = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{3n}{k}$. Так как минимальна частота стробоскопа равняется 2Гц, то максимальное значение $k_{max} = 15$.

Вентилятор будет казаться неподвижным с шестью лопастями, если за время между вспышками лопасти повернутся на угол $\Delta\varphi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3}k,\ k = 0, 1, 2, \ldots$. Следовательно, частоты вспышек стробоскопа в этом случае можно найти из уравнения $2\pi n\tau = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3}k$, или $\nu = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{3n}{k + \frac{1}{2}}$.

Максимальное значения $k$ в этом случае равно 14.

Наконец, вентилятор будет казаться вращающимся в противоположную сторону с частотой $n_1$, если за время между вспышками лопасти повернутся на угол $\Delta\varphi = -2\pi n_1\tau + \dfrac{2\pi}{3}k,\ k = 1, 2, 3\ldots$ Соответствующе уравнения для определения частот стробоскопа имеет вид $2\pi n\tau = -2\pi n_1\tau + \dfrac{2\pi}{3}k$. Из которого следует $\nu = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{3(n + n_1)}{k};\ k = 1, 2, 3\ldots 15$.