Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. 10.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

Сосуд в форме параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке, снабжен плотно пригнанным подвижным поршнем П. В верхней крышке сосуда слева сделана небольшая щель АВ. Первоначально поршень примыкает к правой стенке сосуда. В сосуд наливают воду так, что высота ее уровня равна $h_0$ . Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы, медленно передвигая поршень, полностью вытеснить воздух из сосуда? Атмосферное давление $P_0$ .

Сосуд-параллелепипед длиной l, высотой a и шириной a со щелью AB в крышке слева и поршнем П; стрелка показывает движение поршня влево; вектор g направлен вниз.

Отговори

Решение

В ходе перемещения поршня на него действуют силы давления воздуха $F_1 = P_0 a(a - h)$ (1)

и воды $F_2 = \left(\rho g\dfrac{h}{2} + P_0\right)ah$ (2),

где $\rho$ -плотность воды, $h$ - изменяющаяся высота уровня воды в сосуде, $\rho g\dfrac{h}{2}$ - среднее давление воды на поршень. Так как поршень плотно пригнан, то между ним и правой стенкой сосуда находится вакуум.

Чтобы совершенная работа была минимальна к поршню необходимо прикладывать силу, лишь незначительно превышающую силу давления воды и воздуха:

F = F_1 + F_2 = P_0 a^2 + \rho g a\frac{h^2}{2}. \qquad (3)

Как следует из формулы (3) прикладываемая сила должна изменяться в ходе перемещения поршня, поэтому совершенную ею работу подсчитать сложно (необходимо использовать операцию интегрирования. Однако, первое слагаемое выражении (3) постоянно (поэтому работу этой силы $A_1$ подсчитать не составляет труда), а работа оставшейся составляющей силы равна изменению потенциальной энергии воды $A_2 = \Delta U$ (найти которое тоже не сложно).

Итак,

A_1 = P_0 a^2 x, \qquad (4)

где $x$ - смещение поршня, которое найдем из условия постоянства объема воды

lah_0 = (l - x)a^2 \Rightarrow x = l\left(1 - \frac{h_0}{a}\right). \qquad (5)

Следовательно, $A_1 = P_0 a^2 l\left(1 - \dfrac{h_0}{a}\right)$ .

Вычислим изменение потенциальной энергии воды по формуле

A_2 = \Delta U = \rho g(l - x)a\frac{a}{2} - \rho g l h_0\frac{h_0}{2} = \frac{\rho g a l h_0}{2}. \qquad (6)

Таким образом полная работа вычисляется по формуле

\boxed{A = \frac{\rho g a l h_0}{2} + P_0 a^2 l\left(1 - \frac{h_0}{a}\right)}

Заметим, что для не очень высоких сосудов ( $\rho g a \ll P_0$ ) второе слагаемое значительно превышает первое, то есть основная работа совершается по преодолению силы атмосферного давления.

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf