Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. 10.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

Тонкое кольцо радиусом $R = 10\,\text{см}$ сильно раскрутили вокруг собственной оси и повесили на горизонтальный стержень $A$ радиусом $r = 1{,}0\,\text{см}$ . На графике представлена зависимость от времени угла $\varphi$ , определяющего положение центра кольца. Определите коэффициент трения кольца о стержень.

Стержень $A$ расположили вертикально. С какой скоростью необходимо толкнуть кольцо, чтобы оно вращалось вокруг стержня на постоянной высоте?

Вращающееся с угловой скоростью ω кольцо, висящее на горизонтальном стержне A; вектор g направлен вниз.

График затухающих колебаний угла φ от времени t, с (от 0 до ≈25 с): амплитуда убывает от ≈0,7 к установившемуся значению около 0,33; справа вставка — кольцо на стержне A, угол φ между вертикалью и направлением на центр кольца, ω и g.

Кольцо, надетое на вертикальный стержень A, со скоростью V, направленной по касательной; вектор g направлен вниз.

Отговори

Решение

Из графика зависимости угла поворота кольца от времени видим, что центр кольца совершает затухающие колебания.

Найдем положения равновесия кольца, в котором сумма сил, действующих на кольцо равна нулю. Это условие имеет вид

Кольцо на горизонтальном стержне A в положении равновесия: угол φ, силы N, F_тр и mg, направление вращения ω.

\begin{aligned} N &= mg\cos\varphi \\ F_{\text{тр}} &= mg\sin\varphi \end{aligned}. \qquad (1)

Учитывая, что $F_{\text{тр}} = \mu N$ , находим положение равновесия кольца $\varphi_0 = \operatorname{arctg}\mu$ , или $\mu = \operatorname{tg}\varphi_0$ . Из графика закона движения находим $\varphi_0 \approx 0{,}33$ , $\mu \approx 0{,}34$ .

Рассмотрим теперь движение кольца на вертикальном стержне. Для того чтобы кольцо вращалось на постоянной высоте, необходимо, чтобы оно вращалось на стержне без проскальзывания - только в этом случае сила трения будет направлена вертикально вверх и сможет уравновесить силу тяжести.

Центр кольца в такой ситуации движется по окружности радиуса $(R - r)$ , поэтому сила нормальной реакции

Кольцо на вертикальном стержне A: сила трения F_тр вверх, сила реакции N, сила тяжести mg, скорость центра v0 и скорость крайней точки V.

N = m\frac{v_0^2}{R - r}, \qquad (2)

где $v_0$ - скорость центра кольца. Сила трения (которая в данном случае является силой трения покоя), может принимать значения

F_{\text{тр}} < \mu N. \qquad (3)

Если кольцо остается на неизменной высоте, то выполняется условие

F_{\text{тр}} = mg. \qquad (4)

Из выражений (2)-(3) находим $v_0 > \sqrt{\dfrac{g(R - r)}{\mu}}$ , а скорость крайней (по отношению к стержню) точки кольца , может быть найдена из простых геометрических построений, учитывающих, что кольцо вращается относительно оси стержня:

V = v_0\frac{2R - r}{R - r}. \qquad (5)

Таким образом, окончательный ответ данной задачи определяется по формуле

\boxed{V > \frac{2R - r}{R - r}\sqrt{\frac{g(R - r)}{\mu}} \approx 3{,}5\ \text{м}/\text{с}}

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf