BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. 11.1

• 600 A

Мощность тока в цепи двигателя $IU$ ($I$ -сила тока в цепи двигателя, $U$ - напряжение контактной цепи) равна сумме механической мощности $\beta v^2$ ($v$ - скорость движения трамвая, $\beta v$ - сила сопротивления), затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, и мощности джоулевых тепловых потерь $I^2 R$ ($R$ - полное электрическое сопротивление цепи двигателя):

Заметим, что слагаемое $\beta v^2$ равно произведению силы тока на ЭДС индукции, возникающей в якоре электродвигателя при его вращении.

Выразим полезную мощность $P = \beta v^2$ из уравнения (1):

Из вида зависимости $P(I)$ следует, что полезная мощность достигает максимального значения при $I = \dfrac{U}{2R}$, причем $P_{max} = \dfrac{U^2}{4R}$.

При движении трамвая со скоростью $v_0$, меньшей максимальной скорости, выполняется соотношение

а при движении с максимальной скорость справедливо

Решив уравнения (3)-(4), определим сопротивление цепи

Два решения соответствую тому, что полезная мощность квадратично зависит от силы тока (см. уравнение (2)), следовательно, ее одно и то же значение может быть достигнуто при двух значениях сопротивления цепи..

При остановке трамвая сила тока в цепи двигателя станет равной

Два рассчитанных по этой формуле значения силы тока равны 600А и 32А . Для выбора одного из значений рассчитаем по формуле (4) максимальную мощность, достигаемую при данных значениях сопротивления и напряжения в цепи . Получаем 99 кВт при напряжении 660 В и токе 600 А и 5,3 кВт при 660 В и токе 32 А. Очевидно, что реальным является первое значение мощности трамвая, а следовательно , и первое значение силы тока, т.е. 600 А.

Ответ : $\boxed{I = 600\ \text{А}}$