Съдържание

BelPhO 2000, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Минская областная олимпиада школьников по физике 2000 год · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения в архиве есть только для задач 11 класса; для 10 и 9 классов решений нет.

Условие

Две металлические пластины равных площадей $S$ расположены горизонтально, нижняя закреплена, а верхняя подвешена на пружине жесткостью $k$ . В положении равновесия расстояние между пластинами равно $h_0$ . Какое максимальное электрическое напряжение можно подать на пластины, чтобы при этом они не соединились?

Верхняя горизонтальная пластина подвешена на вертикальной пружине к потолку над нижней закрепленной пластиной.

Отговори

Решение

Сила, действующая на подвешенную пластину, вычисляется с помощью «цепочки» формул

F = \frac{qE}{2} = \frac{S\sigma E}{2} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}S = \frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2h^2}, \qquad (1)

где $q$ - электрический заряд одной пластины, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда на пластине, $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ - напряженность поля, создаваемого одной пластиной (естественно, напряженность поля внутри конденсатора $E_1 = \frac{U}{h}$ в два раза больше).
Условие равновесия пластины имеет вид

mg + \frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2h^2} = k(l - l_0 - h), \qquad (2)

где $(l - l_0 - h)$ - сила упругости пружины, $l$ - расстояние от нижней неподвижной платины до точки подвеса, $l_0$ - длина недеформированной пружины, $h$ - расстояние между пластинами.
Если напряжение между пластинами отсутствует, то $h = h_0$ , тогда выполняется условие

mg = k(l - l_0 - h_0). \qquad (3)

Из уравнений (2)-(3) следует

\frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2h^2} = k(h_0 - h). \qquad (4)

Пластины смогут находится в положении равновесия, если уравнение (4) имеет корни, если в качестве неизвестной рассматривать величину $h$ . Перепишем уравнение (4) в виде

\frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2kh^2} + h = h_0 \qquad (5)

и найдем минимум функции $f(h) = \frac{\varepsilon_0 U^2 S}{2kh^2} + h$ . Производная от этой функции $f'(h) = -\frac{\varepsilon_0 U^2 S}{kh^3} + 1$ обращается в нуль при $h = h^* = \sqrt[3]{\frac{\varepsilon_0 U^2 S}{k}}$ . Поэтому минимальное значение рассматриваемой функции определяется выражением $f_{min} = f(h^*) = \frac{3}{2}h^*$ . Уравнение (4) и равносильное ему уравнение (5) будут иметь корни, если $f_{min} < h_0$ . Таким образом, условия существования положения равновесия имеет вид

\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{\varepsilon_0 U^2 S}{k}} < h_0. \qquad (6)

Из этого неравенства находим

U < \frac{8}{27}\frac{kh_0^3}{\varepsilon_0 S}. \qquad (7)

Теперь необходимо убедится, что хотя бы одно из решений уравнения (4) описывает устойчивое положение равновесия.

Пластина на пружине: обозначены сила упругости F упр. вверх, сила F эл. и mg вниз, расстояние h между пластинами, длина недеформированной пружины l0 и расстояние l от нижней пластины до точки подвеса.

График функций от h: f1 = a/h², прямая f2 = h и их сумма f = a/h² + h (жирная кривая с минимумом при h*); горизонтальная прямая на уровне h0 пересекает f в точках h2 и h1.

Для этого построим схематически графики зависимостей сил упругости пружины и силы электрического притяжения от расстояния между пластинами.
Легко показать, что большему корню $h_1$ соответствует положение устойчивого равновесия, а меньшему $h_2$ - положение неустойчивого равновесия.
Таким образом, при выполнении неравенства (7), пластины могут находится на некотором расстоянии друг от друга.

Схематические графики зависимостей от h: убывающая прямая F упр. − mg и кривая F эл.; они пересекаются при h2 и h1.

Схема оценивания.

Номер пункта	Содержание	баллы всего	в том числе за подпункты
1	Аналитическое условие равновесия (4)	5
	- сила притяжения (1)		3
	- сила упругости		1
	- уравнение (4)		1
2	Условие существования корней	3
	- анализ уравнения (4)		2
	- условие (7)		1
3	Доказательство устойчивости	2
	итого	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2000_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2000_solutions.pdf