Съдържание

BelPhO 2000, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Минская областная олимпиада школьников по физике 2000 год · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения в архиве есть только для задач 11 класса; для 10 и 9 классов решений нет.

Условие

В схеме, показанной на рисунке, отношение емкостей конденсаторов равно $\frac{C_2}{C_1} = \frac{4}{3}$ , напряжение одного источника $U_0 = 10\ \text{В}$ . При каком напряжении второго источника $U_1$ , потенциалы точек $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ , будут образовывать геометрическую прогрессию? Чему равны потенциалы этих точек?

Цепочка из пяти конденсаторов C1, соединенных последовательно между точками A0–A5; от каждой точки A0…A5 к нижнему заземленному проводу идет конденсатор C2; слева источник U0, справа источник U1.

Отговори

Решение

Обозначим потенциалы точек $A_k\ (k = 1,2,...5)$ через $\varphi_k$ , заряды конденсаторов емкостями $C_1$ - $q'_k$ , а конденсаторов $C_2$ - $q_k$ , соответственно. Расставим также предположительные знаки зарядов на пластинах конденсаторов.

Схема задачи с обозначениями: потенциалы φ0, φ1, φ2, φ5 в узлах, заряды q'1, q'2 последовательных конденсаторов и q0, q1, q2 конденсаторов к общему проводу, знаки + на обкладках, точка A1, источники U0 и U1, заземление.

Так как потенциалы точек $A_k\ (k = 1,2,...5)$ должны образовывать геометрическую прогрессию, то

\varphi_k = \varphi_0\lambda^k, \qquad (1)

где $\lambda$ - неизвестный пока знаменатель прогрессии, а $\varphi_0 = U_0$ .
Используя закон сохранения электрического заряда, можно записать соотношения между зарядами конденсаторов, подключенных к точке $A_1$ :

q'_1 = q_1 + q'_2. \qquad (2)

Заряды конденсаторов связаны с разностью потенциалов соотношением $q = C\Delta\varphi$ . Следовательно,

\begin{aligned} q_1 &= C_2\varphi_1 = \lambda C_2\varphi_0 \\ q'_1 &= C_1(\varphi_0 - \varphi_1) = (1 - \lambda)C_1\varphi_0 \\ q'_2 &= C_1(\varphi_1 - \varphi_{21}) = \lambda(1 - \lambda)C_1\varphi_0 \end{aligned} \quad . \qquad (3)

Подставляя значения зарядов в уравнение (2), получим уравнение из решения которого можно найти значение величины $\lambda$

(1 - \lambda)C_1\varphi_0 = \lambda C_2\varphi_0 + \lambda(1 - \lambda)C_1\varphi_0,

или

(1 - \lambda) = \lambda\frac{C_2}{C_1} + \lambda(1 - \lambda). \qquad (4)

Корни этого квадратного уравнения находятся по стандартной формуле

\lambda_{1,2} = \frac{2 + \frac{C_2}{C_1} \pm \sqrt{(2 + \frac{C_2}{C_1})^2 - 4}}{2}. \qquad (5)

Используя значение отношения емкостей конденсаторов, получим

\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = \frac{1}{3}. \qquad (6).

Чтобы условие задачи было удовлетворено, необходимо, чтобы напряжение второго источника удовлетворяло соотношению

U_1 = \varphi_5 = U_0\lambda^5 = 3^{\pm 5}U_0. \qquad (7)

Таким образом, задача имеет два решения

U_1 = 3^5 U_0 = 0{,}24 \cdot 10^3\ \text{В}, \quad U_1 = 3^{-5}U_0 = 0{,}043\text{В}.

Потенциалы точек образуют прогрессию:
в первом случае $-10, -30, -90, -270, -810, -2430\ \text{В}$ ;
во втором $-10, -3.3, -1.1, -0.37, -0.12, -0.041\text{В}$ .
Заметим, что существование двух решений следует из симметрии рассматриваемой электрической схемы.

Схема оценивания.

Номер пункта	Содержание	баллы всего	в том числе за подпункты
1	Уравнение для знаменателя прогрессии	4
	- потенциалы точек		1
	- связь заряда и разности потенциалов		1
	- соотношение между зарядами (2)		2
2	Определение знаменателя прогрессии	3
	- два корня		1
3	Значение напряжения	2
	- формула		1
	- численные значения		1
4	Потенциалы точек (численные значения)	1
	всего	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2000_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2000_solutions.pdf