Съдържание

BelPhO 2000, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Минская областная олимпиада школьников по физике 2000 год · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения в архиве есть только для задач 11 класса; для 10 и 9 классов решений нет.

Условие

Тонкую стеклянную трубку длиной $l = 1{,}0\text{м}$ опускают вертикально в воду так, что ее нижний конец слегка касается воды. При этом вода поднимается в трубке на высоту $h_0 = 14\ \text{мм}$ . На сколько поднимется воды в трубке если перед опусканием плотно закрыть ее верхний конец? Атмосферное давление нормальное.

Две вертикальные трубки, касающиеся воды: слева открытая трубка с поднявшейся на высоту h0 водой, справа трубка с закрытым верхним концом.

Отговори

Решение

Вода в трубке поднимается благодаря капиллярным силам. Условие равновесия столба воды в трубке имеет вид

P + \rho gh = P_{\text{Лап.}} + P_0, \qquad (1)

где $P$ - давление газа в трубке, $\rho gh$ - гидростатическое давление столбика воды, $h$ - высота столба воды в трубке, $\rho$ - плотность воды, $P_{\text{Лап.}}$ - лапласовское давление под искривленной поверхностью, $P_0$ - атмосферное давление. При открытом верхнем конце трубки, давление газа внутри трубки равно атмосферному, поэтому

\rho gh_0 = P_{\text{Лап.}}. \qquad (2)

Если трубка закрыта, то давление внутри нее можно найти из закона Бойля-Мариотта

P(l - h) = P_0 l. \qquad (3)

Выражая из уравнений (2) - (3) лапласовское давление и давление газа внутри трубки и подставляя их в условия равновесия (1), получим квадратное уравнения для определения $h$ :

\frac{P_0 l}{l - h} + \rho gh = \rho gh_0 + P_0, \quad \Rightarrow \quad \frac{P_0 h}{l - h} = \rho g(h_0 - h). \qquad (4)

Решение этого уравнения имеет вид

h = \frac{\frac{P_0}{\rho g} \pm \sqrt{(\frac{P_0}{\rho g})^2 - 4lh_0}}{2}; \qquad (5)

Больший корень физического смысла не имеет, поэтому ответ данной задачи

h = \frac{\frac{P_0}{\rho g} - \sqrt{(\frac{P_0}{\rho g})^2 - 4lh_0}}{2} \approx \frac{\rho gl}{P_0}h_0 \approx 13\text{см}. \qquad (6)

Схема оценивания.

Номер пункта	Содержание	баллы всего	в том числе за подпункты
1	Уравнение равновесия столба воды	6
	-гидростатическое давление		1
	- формула Лапласа		1
	- закон Бойля-Мариотта		2
	- уравнение (4)		2
2	Решение уравнения (4)	4
	- формула (5)		1
	- отброшен лишний корень		1
	- численное значение		2
	- лишние значащие цифры		-1
	итого	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2000_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2000_solutions.pdf