Съдържание

BelPhO 2000, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Минская областная олимпиада школьников по физике 2000 год · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения в архиве есть только для задач 11 класса; для 10 и 9 классов решений нет.

Условие

Для совершения механической работы широко используются тепловые машины. Однако, для получения механической энергии можно использовать и «холод». Рассмотрите двигатель, рабочим телом которого является замерзающая вода, которая находится в цилиндре под поршнем. Воду замораживают с помощью жидкого азота, находящегося при температуре кипения, который подается внутрь цилиндра. Цилиндр «двигателя» изготовлен из стали, его диаметр $40\ \text{см}$ , толщина стенок $3{,}0\ \text{мм}$ .

Цилиндр с поршнем и штоком; под поршнем слой с надписью «вода-лед», в который снизу введен змеевик; стрелки у концов трубок и надпись «азот».

За счет какой энергии может совершать работу такой двигатель?

Какую работу может совершить двигатель при использовании $1{,}0\ \text{кг}$ жидкого азота?

Чему равен коэффициент полезного действия этого двигателя? Теплоемкостью цилиндра, поршня, холодильника, азота можно пренебречь. Лед под поршнем можно считать пластичным веществом.

Удельная теплота парообразования азота - $200\frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$ .

Удельная теплота плавления льда - $330\frac{\text{кДж}}{\text{кг}}$ .

Плотность воды - $1{,}0 \cdot 10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ ; плотность льда - $0{,}90 \cdot 10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ .
Предел прочности стали, из которой изготовлен цилиндр $550\ \text{МПа}$ .

Отговори

Решение

Двигатель может совершать работу за счет внутренней энергии окружающей среды и внутренней энергии воды.

Работа льда при его замерзании и расширении определяется по формуле

A = P\Delta V, \qquad (1)

где $\Delta V = M(\frac{1}{\rho_{\text{л}}} - \frac{1}{\rho_{\text{в}}})$ - увеличение его объема при замерзании, $M$ - масса льда, $\rho_{\text{л}}, \rho_{\text{в}}$ - плотности льда и воды, соответственно.
Массу льда, которую можно заморозить найдем из уравнения теплового баланса

M\lambda = mL \quad \Rightarrow \quad M = m\frac{L}{\lambda}, \qquad (2)

где $m$ - масса имеющегося в нашем распоряжении жидкого азота, $L$ - удельная теплота парообразования азота, $\lambda$ - удельная теплота кристаллизации воды.
Максимальное давление льда определяется прочностью стенок цилиндра двигателя.
Выделим на поверхности цилиндра узкую полоску длиной $l$ и видимую с оси цилиндра под малым углом $\alpha$ . Сила давления льда

F = PS_0 = Pl\alpha R \qquad (3)

уравновешивается силами механического напряжения в стенках цилиндра

T = \sigma_{\text{пр.}}S_1 = \sigma_{\text{пр.}}lh. \qquad (4)

В формулах (3)-(4) обозначено: $R$ - радиус цилиндра, $h$ - толщина его стенок, $\sigma_{\text{пр.}}$ - предел прочности стали, $S_0$ - площадь выделенной полоски, $S_1$ - площадь ее боковых торцов. Записывая условие равновесия выделенного элемента в проекции на радиальное направление, получим

F = 2T\sin\frac{\alpha}{2}, \quad \Rightarrow \quad F = T\alpha, \quad \Rightarrow \quad PlR\alpha = \sigma_{\text{пр.}}lh\alpha. \qquad (5)

При выводе последнего соотношения учтена малость угла $\alpha$ .
Из уравнения (5) определяем максимально возможное давление льда

P = \frac{\sigma_{\text{пр.}}h}{R}. \qquad (6)

Таким образом, максимальная работа, которую может совершить двигатель, рассчитывается по формуле

A = \frac{\sigma_{\text{пр.}}h}{R}m\frac{L}{\lambda}(\frac{1}{\rho_{\text{л}}} - \frac{1}{\rho_{\text{в}}}) \approx 280\ \text{Дж}. \qquad (7)

Коэффициент полезного действия определяется отношением совершенной работы к количеству полученной теплоты, которая в данном случае равна количеству теплоты, которое требуется на плавление льда ( $Q = M\lambda$ )

\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\sigma_{\text{пр.}}h}{R\lambda}(\frac{1}{\rho_{\text{л}}} - \frac{1}{\rho_{\text{в}}}) \approx 1.4 \cdot 10^{-3}. \qquad (8)

Слева цилиндр с выделенной узкой полоской длиной l, видимой с оси под углом α (обозначены R, αR); справа сечение кольца стенки толщиной h радиуса R с выделенным элементом, силой давления F и силами натяжения T по касательным.

Схема оценивания.

Номер пункта	Содержание	баллы всего	в том числе за подпункты
1	Источник энергии	1
2	Максимальное давление	3
	- выделение узкой полоски		1
	- напряжение в стенке (4)		1
	- условие равновесия		1
2	Работа льда	4
	- формула (1)		1
	- изменение объема		1
	- тепловой баланс		1
	- численное значение		1
3	Расчет КПД	2
	- определение кпд и расчет теплоты		1
	- численное значение		1
	итого	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2000_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2000_solutions.pdf