Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. 10.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Для измерения заряда электрона американский физик Роберт Милликен в 1909-1912 годах провел серию экспериментов по исследованию движения маленьких заряженных масляных капель в электрическом поле. В установке Милликена капли масла вбрызгивались в пространство между двумя горизонтальными металлическими пластинами, к которым прикладывалось постоянное электрическое напряжение. С помощью микроскопа проводилось наблюдение за движущимися в воздухе каплями и измерялась скорость их движения. Капли приобретали отрицательный электрический заряд в процессе разбрызгивания. Кроме того, можно было изменять заряд капель, облучая их ультрафиолетовым излучением.

Не претендуя на абсолютно точное воспроизведение результатов опытов Милликена, опишем одну из возможных схем проведения эксперимента и приведем их результаты в Таблице 1.

В отсутствии электрического поля измеряется значение скорости падения капли $v_0$ . Если на пластины подать постоянное напряжение $U_0$ , капля начинает двигаться вверх, измеренная при этом скорость капли обозначена $v_2$ , измеренное значение радиусов капель $r$ . Плотность масла $\rho = 910\ \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{м}^3}$ , расстояние между металлическим пластинами $h = 1{,}0\ \mathrm{см}$ , ускорение свободного падения принять равным $g = 9{,}8\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}$ .

Для капель микронного радиуса сила вязкого трения пропорциональна скорости их движения. Считать, что в процессе измерения по описанной схеме заряд капли остается постоянным.

Таблица 1.

№	$r$ , мкм	$v_0$ , мм/с	$U_0$ , кВ	$v_1$ , мм/с
1	1,3	0,19	5,0	0,18
2	1,7	0,32	5,0	0,51
3	1,7	0.32	5,0	0,24
4	1,2	0,16	5,0	0,23
5	1,4	0,22	5,0	0,29
6	2,0	0,44	5,0	0,39
7	1,6	0,28	5,0	0,46
8	1,5	0,25	5,0	0,38
9	2,2	0,53	5,0	0,22
10	1,4	0,22	5,0	0,63

Определите по этим данным заряд электрона, оцените погрешность полученной величины.

Отговори

Решение

10.5 Так как в процессе движения капли на нее действует сила вязкого трения, а масса капли мала, то можно считать движение капли равномерным. Скорость такого движения $v_0$ можно определить из условия равенства модулей силы тяжести и силы сопротивления

mg = \beta v_0, \qquad (1)

где $\beta$ - некоторый постоянный для данной капли коэффициент.

При движении капли вверх справедливо соотношение

q\frac{U_0}{h} - mg = \beta v_1. \qquad (2)

Исключая из этих уравнений неизвестный коэффициент $\beta$ , получаем формулу для определения заряда капли

q = \frac{mgh}{U_0}\cdot\left(1 + \frac{v_1}{v_0}\right), \qquad (3)

где $m = \frac{4}{3}\pi r^3\rho$ - масса капли.

Для удобства дальнейших расчетов, подставим численные значения постоянных величин, причем запишем $r = r_0\cdot 10^{-6}$ , где $r_0$ - значение радиуса капли в микронах; $U_0 = u_0\cdot 10^3$ , где $u_0$ - значение напряжения в киловольтах. Так как в формулу (3) входит отношение скоростей, то нет необходимости переводить их размерности в систему единиц СИ. Таким образом получим расчетную формулу

q = 0{,}747\cdot 10^{-19}\cdot r_0^3\left(1 + \frac{v_1}{v_0}\right). \qquad (4)

Результаты расчетов представим в Таблице 2, дополнив ее необходимыми столбцами.

Таблица 2.

№	$r$ , мкм	$v_0$ , мм/с	$U_0$ , кВ	$v_1$ , мм/с	$q$ , $10^{-19}$ Кл	$n$	$e$ , $10^{-19}$ Кл
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1,3	0,19	5,0	0,18	3,20	2	1,60
2	1,7	0,32	5,0	0,51	9,52	6	1,59
3	1,7	0.32	5,0	0,24	6,42	4	1,61
4	1,2	0,16	5,0	0,23	3,15	2	1,57
5	1,4	0,22	5,0	0,29	4,75	3	1,58
6	2,0	0,44	5,0	0,39	11,27	7	1,61
7	1,6	0,28	5,0	0,46	8,09	5	1,62
8	1,5	0,25	5,0	0,38	6,35	4	1,59
9	2,2	0,53	5,0	0,22	11,26	7	1,61
10	1,4	0,22	5,0	0,63	7,92	5	1,58

Можно заметить, что рассчитанные значения зарядов, приведенные в столбце 6, приблизительно кратны величине 1,6. Разделим величины зарядов на 1,6 и округлим полученное значение до целого числа $n$ , равного числу избыточных электронов на капле (столбец 7). Затем разделим величину заряда капли на количество избыточных электронов и получим значение заряда электрона (столбец 8). Далее необходимо традиционным образом провести усреднение полученных значений и оценку погрешности.

\bar e = \frac{\sum_k e_k}{n} \approx 1{,}60, \qquad \Delta e = 2\sqrt{\frac{\sum_k (e_k - \bar e)^2}{n(n - 1)}} \approx 0{,}01.

Таким образом, полученное значение заряда электрона

e = (1{,}60 \pm 0{,}01)\cdot 10^{-19}\ \mathrm{Кл}.

Заметим, что в своих опытах Р.Милликен получен несколько заниженное значение величины заряда электрона.

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf