Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. 10.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

В качестве модели упругой пленки можно рассмотреть квадратную сетку, образованную очень маленькими пружинками с жесткостью $k$ . Покажите, что в рамках данной модели потенциальная энергия однородно растянутой пленки определяется формулой $U = k(\sqrt{S} - \sqrt{S_0})^2$ , где $S$ - площадь растянутой пленки, $S_0$ - ее площадь в недеформированном состоянии. Из пленки изготовили воздушный шарик, радиус которого при недеформированной пленке равен $r_0$ . Найдите зависимость давления воздуха внутри шарика от его радиуса. Атмосферным давлением пренебречь.

Отговори

Решение

Квадратная сетка из пружинок с шагом a (обозначен по вертикали и горизонтали).

10.4 В рамках указанной модели представим пленку как квадратную сетку, состоящую из маленьких пружинок длиной $a$ . Пусть кусок пленки имеет форму квадрата со стороной $l_0$ $(l_0 \gg a)$ . Тогда этот кусок имеет $N = 2\frac{l_0^2}{a^2}$ пружинок (площадь одной ячейки равна $a^2$ , а на каждую ячейку приходится 2 пружинки - каждая пружинка «принадлежит двум соседним ячейкам!). Если растянуть пленку до квадрата со стороной $l$ , то длина каждой пружинки увеличится на величину $\Delta x = \frac{l}{l_0}a - a = \frac{a}{l_0}(l - l_0)$ . Поэтому увеличение потенциальной энергии пленки будет определяться формулой

U = N\frac{k(\Delta x)^2}{2} = k(l - l_0)^2 = k(\sqrt{S} - \sqrt{S_0})^2, \qquad (1)

где $S = l^2$ - площадь растянутой пленки, $S_0 = l_0^2$ - площадь недеформированной пленки.

Рассмотрим шарик, изготовленный из эластичной пленки. Пусть при недеформированной пленке радиус шарика равен $r_0$ . Тогда на длину «экватора» приходится $n = \frac{2\pi r_0}{a}$ упругих пружинок, натяжения которых будут уравновешивать силы давления воздуха. При радиусе шарика $r$ суммарная сила давления воздуха на полусферу

F = P\pi r^2 \qquad (2)

будет уравновешена силами упругости

nk\Delta x = \frac{2\pi r_0}{a}k\left(\frac{r}{r_0}a - a\right) = 2\pi k(r - r_0), \qquad (3)

где учтено, что удлинение каждой пружинки может быть найдено из подобия $\Delta x = \frac{r}{r_0}a - a$ .

Сфера, рассеченная экваториальной плоскостью; на нижнюю полусферу вертикально вниз действуют стрелки сил давления, по экватору — силы натяжения пружинок.

Приравнивая эти силы, находим равновесное значение давления газа

P = 2k\frac{r - r_0}{r^2}. \qquad (4)

Возможен и другой подход к вычислению давления. При увеличении радиуса шара на малую величину $\Delta r$ , газ совершит работу

A = P\Delta V = P4\pi r^2\Delta r. \qquad (5)

Эта работа пойдет на увеличение потенциальной энергии пленки $\Delta U = U(r + \Delta r) - U(r)$ . Воспользуемся формулой (1) для вычисления этой величины

\Delta U = k\cdot 4\pi\cdot 2(r - r_0)\Delta r, \qquad (6)

при выводе которой учтено, что площадь поверхности сферы $S = 4\pi r^2$ . Приравняв выражения (5) и (6), получаем прежний результат (4).

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf