BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. 10.3

• $\beta = \frac{\pi}{4}$ при $0 \le \omega \le \omega_0 = \sqrt{\mu g/a} \approx 4{,}4\ \mathrm{с}^{-1}$; $\beta = \frac{3\pi}{4} - \arcsin\frac{\mu g}{a\omega^2}$ при $\omega_0 \le \omega \le \omega_1 \approx 6{,}3\ \mathrm{с}^{-1}$; $\beta = 0$ при $\omega > \omega_1$.

10.3 Задачу удобно решать во вращающейся неинерциальной системе отсчета, связанной с центром диска. В этой системе необходимо учитывать центробежную силу инерции $m\omega^2r$, направленную радиально от оси вращения. (Заметим, что, в принципе, можно решать и в инерциальной системе отсчета.)

При раскручивании диска действие центробежной силы приведет к тому, что нити, удерживающие шарики, будут все время натянуты. Следовательно, они будут двигаться по дугам окружностей вокруг точки $A$, а силы трения будут направлены перпендикулярно нитям.

Пусть угловая скорость вращения диска равна $\omega$. Определим области положения равновесия шариков. В проекции на направление перпендикулярное нити условие равновесия можно записать в виде (см. рисунок, сила натяжения нити за ненадобностью не показана)

Учитывая, что треугольник $OAC$ равнобедренный, расстояние до центра можно выразить в простом виде $r = 2a\cos\alpha$, тогда уравнение (1) преобразуется к виду

Сила трения покоя удовлетворяет условию $F_{\mathrm{тр.}} \le \mu mg$. Поэтому условие равновесия шарика при заданной угловой скорости вращения имеет вид

или

При $\omega \le \omega_0 = \sqrt{\frac{\mu g}{a}} \approx 4{,}4\ \mathrm{с}^{-1}$ в любом положении на рассматриваемой окружности шарик будет находится в равновесии. При дальнейшем увеличении угловой скорости область равновесия будет сужаться (на рис. заштрихована). Таким образом, когда угловая скорость достигнет величины $\omega_0$ первый шарик сдвинется с места и с увеличением скорости вращения будет смещаться вслед за границей области устойчивости. Когда угловая скорость достигнет величины $\omega_1 = \sqrt{\frac{\mu g}{a\sin\varphi_0}} \approx 6{,}3\ \mathrm{с}^{-1}$ , начнет движение второй шарик, а первый в это время будет находится в точке $B$. Сразу после начала движения второй шарик попадает в область отсутствия равновесия и, следовательно, также устремится к точке $B$, где догонит первый шарик. Дальше они будут двигаться вместе. Таким образом, угол между нитями подчиняется следующим закономерностям