Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. 11.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Для изготовления тонкой линзы пространство между двумя сферическими тонкими поверхностями залили материалом с показателем преломления $n_0 = 1{,}69$ . В процессе изготовления линзы был допущен технологический брак, из-за чего внутри линзы оказалось множество небольших воздушных пузырьков, касающихся обеих граней линзы, и равномерно распределенных по поверхности линзы. Полученную таким образом двояковогнутую линзу поместили в воду (показатель преломления $n_1 = 1{,}33$ ), и на расстоянии $a = 40\ \mathrm{см}$ за линзой расположили экран параллельно плоскости линзы. Линзу полностью осветили параллельным пучком света, направленным вдоль главной оптической оси. На экране образовался светлый круг, диаметр которого в два раза больше диаметра линзы. Кроме того, в центре этого светлого круга образовалось небольшое круглое пятно, освещенность которого в $\eta = 3{,}0$ раза больше освещенности остального круга. Определите суммарную площадь (в процентах к общей площади линзы) пузырьков в линзе. Дифракцией света пренебречь.

Слева: сечение двояковогнутой линзы с пузырьками, касающимися обеих граней. Справа: вид линзы спереди — круг с множеством небольших светлых пузырьков.

Отговори

Решение

11.2 Так как показатель преломления материала линзы больше, чем показатель преломления воды, то такая линза, помещенная в воду, будет рассеивающей. Множество пузырьков воздуха, вкрапленных в линзу, тоже можно рассматривать как линзу, но с показателем преломления равным 1. В воде такая линза будет собирающей. Таким образом, больший светлый круг образован лучами, преломившимися в основном материале линзы, а более яркий кружок - лучами, преломившимися в пузырьках воздуха.

Ход лучей: параллельный пучок ширины d падает на линзу AA' с центром O; мнимый фокус F слева; лучи расходятся к экрану (точки B, B', светлый круг диаметра d_0), лучи через пузырьки сходятся в фокус F_1 за экраном, образуя яркое пятно CC' диаметра d_1; расстояние от линзы до экрана a, точка D на экране.

Рассмотрим ход лучей, преломившихся на основном материале линзы. Крайние лучи этой группы $AB,\ A'B'$ образуют границу освещенной области. Так как, диаметр $d_0$ освещенного круга $BB'$ в два раза больше диаметра $d$ линзы $AA'$ , фокусное расстояние $F_0$ линзы( $OF$ ) равно расстоянию $a$ между линзой и экраном ( $OD$ ). Как известно, фокусное расстояние линзы определяется по формуле

\frac{1}{F} = (n' - 1)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right), \qquad (1)

где $R_1, R_2$ - радиусы кривизны преломляющих поверхностей, $n'$ - относительный показатель преломления линзы (относительно среды). Поэтому отношение фокусных расстояний основной линзы $F_0$ и линзы «пузырьковой» $F_1$ , вычисляется по формуле

\frac{F_1}{F_0} = \frac{\frac{n_0}{n_1} - 1}{\frac{1}{n_1} - 1} = \frac{n_0 - n_1}{1 - n_1}. \qquad (2)

Учитывая, что $F_0 = -a$ (линза рассеивающая!), вычислим фокусное расстояние воздушной линзы $F_1 = a\frac{n_0 - n_1}{n_1 - 1} \approx 44\ \mathrm{см}$ . Теперь с помощью рисунка можем выразить диаметр более яркого пятна $CC'$

d_1 = d\frac{F_1 - a}{F_1}. \qquad (3)

Обозначим падающий на линзу световой поток $\Phi$ , тогда поток света, преломившегося в пузырьках, будет равен $\Phi_1 = \varepsilon\Phi$ (где $\varepsilon$ доля площади линзы занимаемой пузырьками); световой поток, преломившийся в основном материале линзы $\Phi_0 = (1 - \varepsilon)\Phi$ . Освещенность поверхности пропорциональна световому потоку и обратно пропорциональна освещаемой площади. Поэтому освещенность светлого круга $E_0 \sim \frac{\Phi_0}{d_0^2} \sim \frac{1 - \varepsilon}{4d^2}$ . Освещенность поверхности, создаваемая лучами, преломившимися в пузырьках, $E_1 \sim \frac{\Phi_1}{d_1^2} \sim \frac{\varepsilon}{d^2}\left(\frac{F_1}{F_1 - a}\right)^2 \approx 120\frac{\varepsilon}{d^2}$ . Отношение освещенностей центрального пятна и остального круга, выражается формулой

\eta = \frac{E_0 + E_1}{E_0} = 1 + \frac{E_1}{E_0} \approx 1 + 480\frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}.

Из этой формулы определяем величину $\varepsilon \approx 0{,}4\%$

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf