Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Стрелу гарпуна массы $m = 1{,}5\ \mathrm{кг}$ , к которой привязана гладкая гибкая нить, бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15\ \mathrm{м/с}$ . Масса единицы длины нити $\lambda = 20\ \mathrm{г/м}$ . На какую высоту поднимется стрела, если длина нити равна

а) $l = 5{,}0\ \mathrm{м}$ ;

б) $l = 15\ \mathrm{м}$ ?

Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $g = 9{,}8\ \mathrm{м/с^2}$ .

Отговори

Решение

11.3 Предположим, что высота подъема стрелы меньше, чем длина привязанной нити. Тогда закон сохранения механической энергии будет иметь вид

\frac{mv_0^2}{2} = mgh + m_1g\frac{h}{2}, \qquad (1)

где $m_1 = \lambda h$ - масса поднятой веревки, $\frac{h}{2}$ - высота, на которую поднялся центр масс веревки. Таким образом, получаем уравнение для определения высоты подъема

\frac{mv_0^2}{2} = mgh + \lambda g\frac{h^2}{2}. \qquad (2)

Корни этого уравнения определяются формулой

h_{1,2} = -\frac{m}{\lambda} \pm \sqrt{\left(\frac{m}{\lambda}\right)^2 + \frac{mv_0^2}{\lambda g}}. \qquad (3)

Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому решение задачи имеет вид

h = \sqrt{\left(\frac{m}{\lambda}\right)^2 + \frac{mv_0^2}{\lambda g}} - \frac{m}{\lambda} \approx 10{,}7\ \mathrm{м}. \qquad (4)

Таким образом при длине нити 15м часть нити останется лежать на земле, следовательно, полученное решение является верным. При длине нити 5м , полученная формула неприменима, так как вся нить поднимется в воздух. В этом случае закон сохранения энергии следует записать в виде

\frac{mv_0^2}{2} = mgh + \lambda lg\left(h - \frac{l}{2}\right). \qquad (5)

Из этого уравнения определим высоту подъема

h = \frac{mv_0^2 + \lambda gl^2}{2g(m + \lambda l)} \approx 10{,}9\ \mathrm{м}. \qquad (6)

Высота подъема, как видно оказалась несколько больше, однако, эти два результата не различимы в рамках точности данных, приведенных в условии задачи. Поэтому правильный ответ: в обоих случаях высота подъема стрелы $h \approx 11\ \mathrm{м}$ .

Стрела поднимается вертикально, за ней тянется нить из клубка на земле; центр масс поднятой нити C; высота подъема h.

Стрела с полностью поднятой нитью длины l; центр масс нити C; высота подъема стрелы h над землей (клубок внизу).

Заметим, что высота подъема стрелы без нити $h_0 = \frac{v_0^2}{2g} \approx 11{,}5\ \mathrm{м}$ мало отличается от полученным нами результатов.

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf