Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. 11.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

4.1 Колесо радиуса $R$ катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, вращаясь вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Введем декартовую систему координат, как показано на рисунке. Точка $A$ , находящаяся на ободе колеса, в момент времени $t = 0$ находилась в начале координат.

Колесо на горизонтальной поверхности, вращающееся с угловой скоростью ω; ось Y проходит через точку касания A, ось X — вдоль поверхности вправо.

Запишите уравнения, описывающие зависимости от времени проекций ускорения $a_x, a_y$ ; проекций скорости $v_x, v_y$ ; координат $x, y$ точки $A$ .

Найдите среднюю скорость $\langle\vec v\rangle$ движения точки $A$ за достаточно большой промежуток времени.

4.2 Две одинаковых частицы, массы которых равны $m$ , движутся вдоль оси $X$ под действием изменяющихся во времени сил. На первую частицу действует сила, $F_1 = F_0\sin\omega t$ на вторую $F_2 = F_0\cos\omega t$ ( $F_0, \omega$ - известные постоянные величины). Запишите уравнения зависимостей от времени ускорений частиц $a_1, a_2$ , скоростей частиц $v_1, v_2$ , их координат $x_1, x_2$ . Найдите средние скорости частиц за достаточно большой промежуток времени.

4.3 Электрон движется в поле плоской электромагнитной волны, вектор напряженности электрического поля которой направлен вдоль оси $X$ и изменяется со временем по закону $E = E_0\cos\omega t$ , а вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси $Y$ и изменяется со временем по закону $B = B_0\cos\omega t$ . Длина волны велика настолько, что можно пренебречь зависимостью характеристик волны от координаты $Z$ . В поле электромагнитной волны при не слишком больших скоростях движения электрона $v$ выполняется соотношение $E_0 \gg vB_0$ . Используя это соотношение, найдите зависимость проекции скорости электрона на ось $X$ от времени. Найдите среднюю скорость движение электрона вдоль оси $Z$ (скорость дрейфа электрона). Считайте, что первоначально скорость электрона равнялась нулю.

Оси координат X (вверх), Y (к наблюдателю, влево вниз), Z (вправо); вектор E направлен вдоль X, вектор B — вдоль Y.

Отговори

Решение

11.4

4.1 Пусть колесо повернулось на угол $\varphi = \omega t$ , при этом его центр сместился на расстояние $x_0 = \omega Rt$ . Координаты точки $A$ в этот момент будут определятся выражениями

\begin{cases} x = R(\omega t - \sin\omega t) \\ y = R(1 - \cos\omega t) \end{cases}. \qquad (1)

Скорость точки $A$ можно представить как сумму скоростей поступательного движения $V = \omega R$ , направленной горизонтально, и вращательного движения $V = \omega R$ , направленной по касательной к ободу колеса. Поэтому компоненты полной скорости точки $A$ имеют вид

\begin{cases} V_x = \omega R(1 - \cos\omega t) \\ V_y = R\omega\sin\omega t \end{cases}. \qquad (2)

Ускорение точки $A$ является центростремительным, направленным к центру колеса. Модуль ускорения $a = R\omega^2$ , а его проекции на оси координат

\begin{cases} a_x = R\omega^2\sin\omega t \\ a_y = R\omega^2\cos\omega t \end{cases}. \qquad (3)

Заметим, что уравнения (2), (3) могут быть получены простым дифференцированием функций (1).

Колесо радиуса R на горизонтальной поверхности, повернутое на угол φ; точка A на ободе, ее скорость V и векторы скоростей V поступательного и вращательного движения; вектор ускорения a направлен к центру; оси X и Y.

Понятно, что средняя скорость точки $A$ направлена вдоль оси $X$ и равна

\langle V\rangle = \omega R. \qquad (4)

4.2 На основании второго закона Ньютона можно записать уравнения, описывающие ускорения точек

\begin{cases} a_1 = \frac{F_0}{m}\sin\omega t \\ a_2 = \frac{F_0}{m}\cos\omega t \end{cases}. \qquad (5)

Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (3), для большей наглядности перепишем их в виде

\begin{cases} a_1 = \frac{F_0}{m\omega^2}\omega^2\sin\omega t \\ a_2 = \frac{F_0}{m\omega^2}\omega^2\cos\omega t \end{cases}. \qquad (6)

Если обозначить $\frac{F_0}{m\omega^2} = R$ , то получим полное совпадение. Причем, что немаловажно, совпадают и начальные условия - при $t = 0$ координаты и скорости точек равны нулю. Следовательно, выражения для скоростей и ускорений будут теми же, что и в предыдыщем пункте, поэтому нам достаточно переписать функции (2), (1), заменив в них $R$ на $\frac{F_0}{m\omega^2}$ :

\begin{cases} V_1 = \frac{F_0}{m\omega}(1 - \cos\omega t) \\ V_2 = \frac{F_0}{m\omega}\sin\omega t \end{cases}, \qquad (7)

\begin{cases} x_1 = \frac{F}{m\omega^2}(\omega t - \sin\omega t) \\ x_2 = \frac{F}{m\omega^2}(1 - \cos\omega t) \end{cases}. \qquad (8)

Продолжая аналогию между двумя задачами, сразу найдем

\begin{cases} \langle V_1\rangle = \frac{F_0}{m\omega}. \\ \langle V_2\rangle = 0 \end{cases} \qquad (9)

Траектория электрона в плоскости XZ (дуга из начала координат); в точке траектории — сила eE вдоль X, скорость V под углом α к оси Z и сила Лоренца F_Л, перпендикулярная скорости; оси X, Y, Z.

4.3 На электрон в поле волны действуют

а) постоянная сила со стороны электрического поля $e\vec E$ , направленная вдоль оси $X$ ;

б) со стороны магнитного поля сила Лоренца $\vec F_{\text{Л}}$ , перпендикулярнаяиектору индукции магнитного поля, то есть параллельная плоскости $XZ$ .

Если считать, что в начальный момент времени электрон находился в начале координат и покоился, то траектория его дальнейшего движения будет лежать в плоскости $XZ$ . Учитывая, что модуль силы Лоренца равен $F_{\text{Л}} = eVB$ , а направление этой силы перпендикулярно скорости, можно записать уравнения движения электрона на основании второго закона Ньютона

\begin{cases} ma_x = eE - eBV\cos\alpha = eE - eBV_z \\ ma_z = eBV\sin\alpha = eBV_x \end{cases}. \qquad (10)

Так как в поле электромагнитной волны сила Лоренца значительно слабее электрической силы, то в первом уравнении системы (10) можно пренебречь вторым слагаемым. Тогда это уравнение примет вид

a_x = \frac{eE_0}{m}\cos\omega t, \qquad (11)

решение которого мы уже дважды записывали по ходу решения задачи. Поэтому воспроизведем здесь без комментариев

\begin{matrix} V_x = \frac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t \\ x = \frac{eE_0}{m\omega^2}(1 - \cos\omega t) \end{matrix}. \qquad (12)

Подставим найденное выражение для компоненты скорости электрона $V_x$ во второе уравнение системы (10):

a_z = \frac{e}{m}B_0\cos\omega t\frac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t = \left(\frac{e}{m}\right)^2\frac{E_0B_0}{2\omega}\sin 2\omega t. \qquad (13)

Такое уравнение также решено нами ранее, поэтому

V_z = \left(\frac{e}{2m\omega}\right)^2E_0B_0(1 - \cos 2\omega t). \qquad (14)

Средняя скорость дрейфа электронов определяется по формуле

\langle V_z\rangle = \left(\frac{e}{2m\omega}\right)^2E_0B_0. \qquad (15)

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf