BelPhO 2001, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10.1

Минская городская олимпиада школьников по физике 2001 года · 20 т.

Условие

В физике при описании сложных процессов достаточно широко используются различные простейшие модели. Одной из них является модель идеального газа. Данная задача посвящена анализу этой модели.

1.1 В узком цилиндрическом сосуде с подвижным поршнем движется с достаточно большой постоянной скоростью $v_0 = 50{,}0\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ упругий шарик массы $m = 10{,}0\ \text{г}$. Вектор скорости шарика все время направлен вдоль оси сосуда, удары шарика о поршень и дно сосуда абсолютно упругие. Найдите среднюю силу давления шарика на поршень (усредненную по промежутку времени, значительно превышающему время между ударами) как функцию скорости $v_0$ и расстояния $h$ между дном и поршнем. Силой тяжести пренебречь.

1.2 Как известно, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии движения молекул. Л. Больцман показал, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, равна $\dfrac{kT}{2}$, где $T$ - абсолютная температура, измеряемая по шкале Кельвина, $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана. Используя эти данные, введите понятие «температуры газа», состоящего из одного движущегося в сосуде шарика (см. п. 1.1). Получите уравнение состояния такого «газа», связывающее между собой давление $p$, температуру $T$ и объем газа $V$. Вычислите «температуру» для приведенных значений массы и скорости шарика.

1.3 Как известно, при тепловом контакте тел их температуры выравниваются. Продемонстрируйте этот факт на примере упругого столкновения двух одинаковых шариков, один из которых покоится, а второй налетает на него со скоростью $v_0$. Пусть после удара налетающий шар отклонился на некоторый угол $\alpha$. Найдите скорости шаров после их упругого столкновения. Рассчитайте средние кинетические энергии каждого из шаров после столкновения, если угол отклонения $\alpha$ равновероятно принимает произвольные значения в интервале от $-\dfrac{\pi}{2}$ до $+\dfrac{\pi}{2}$.

1.4 Пусть шарик находится в вертикальном открытом сосуде и падает на поршень с высоты $h_0$. Как зависит средняя сила давления шарика на поршень от его высоты $h$? Ускорение свободного падения $g$.

1.5 Рассмотрим идеальный газ с молярной массой $\mu$ при постоянной температуре $T$, находящийся в очень высоком вертикальном сосуде в поле тяжести земли. Разобьем его на малые горизонтальные слои толщиной $\Delta h$. Покажите, что в этом случае давление газа в каждом следующем из вышележащих слоев убывает в геометрической прогрессии. Найдите эту прогрессию. Попытайтесь с помощью полученных результатов оценить высоту Земной атмосферы. Давление газа у поверхности земли $p_0$.

1.6 Сравните результаты п.1.4 и п.1.5 . Объясните полученное противоречие.

Решение

---

Оригинал в Архива: 3_etap_2001_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2001_solutions.pdf