Съдържание

BelPhO 2001, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Минская городская олимпиада школьников по физике 2001 года · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения задач 10 класса в архиве отсутствуют: файл решений содержит только решения задач 9 и 11 классов.

Условие

Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс $1 \to 2 \to 3 \to 1$ , показанный на рисунке, где $C$ - теплоемкость газа $\left(C_0 = \dfrac{3}{2}R\right)$ , $t$ - температура по шкале Цельсия. Какое количество теплоты получил от нагревателя газ? Какая работа совершена газом за весь процесс? Чему равен КПД «цикла»? Найдите КПД цикла Карно, максимальная и минимальная температуры которого совпадают с соответствующими температурами данного процесса. Сравните и объясните полученные значения КПД. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ .

График теплоемкости C от температуры t (°C): точки 1 (50 °C, $C_0$), 2 (100 °C, $2C_0$), 3 (150 °C, $C_0$); процесс 1→2→3 по сторонам треугольника и 3→1 по горизонтали при $C_0$.

Отговори

Решение

Легко заметить, что $C\Delta t = \delta Q$ , $\delta Q$ - количество теплоты, полученное газом при изменении температуры на величину $\Delta t$ . Следовательно площадь, под графиком зависимости $C(t)$ численно равна количеству полученной теплоты. На участках $1 \to 2$ и $2 \to 3$ $C > 0$ и $\Delta t > 0$ , поэтому на этих участках газ получает теплоту от нагревателя $(\delta Q > 0)$ . Следовательно, количество полученной газом теплоты равно

Q_1 = 2\frac{C_0 + 2C_0}{2} \cdot (t_2 - t_1) = 3C_0(t_2 - t_1) = \frac{9}{2}R(t_2 - t_1). \qquad (1)

График C(t) процесса 1→2→3→1 (точки при 50, 100, 150 °C; уровни $C_0$ и $2C_0$) с заштрихованной узкой полоской под участком 1→2, изображающей элементарную теплоту.

Подстановка численных значений приводит к результату

Q_1 = \frac{9}{2}R(t_2 - t_1) = \frac{9}{2} \cdot 8{,}31 \cdot 50 \approx 1{,}9\ \text{кДж}. \qquad (2)

На участке $3 \to 1$ $C > 0$ , но $\Delta t < 0$ , поэтому на этом участке газ отдает теплоту холодильнику $(\delta Q < 0)$ . Количество отданной теплоты равно

Q_2 = C_0(t_3 - t_1) = \frac{3}{2}R(t_3 - t_1). \qquad (3)

По завершении всего процесса $1 \to 2 \to 3 \to 1$ температура газа принимает первоначальное значение, поэтому изменение внутренней энергии равно нулю, следовательно, разность полученной и отданной теплоты равна работе совершенной газом

A = Q_1 - Q_2 = C_0(t_2 - t_1) = \frac{3}{2}R(t_2 - t_1) \approx 0{,}62\ \text{кДж}. \qquad (4)

По определению КПД данного процесса равен

\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{1}{3}. \qquad (5)

Максимальная температура газа в точке 3, а минимальная в точке 1, поэтому по теореме Карно максимальный КПД цикла, работающего в данном диапазоне температур равен (температуры должны быть переведены в абсолютную шкалу)

\eta_{max} = \frac{T_3 - T_1}{T_3} = \frac{t_3 - t_1}{t_3 + 273} = \frac{100}{150 + 273} \approx 0{,}24. \qquad (6)

Итак, КПД цикла Карно, при тех же предельных температурах, оказался меньше, чем в рассматриваемом процессе. Разрешения парадокса в том, что рассмотренный процесс не является циклическим, так теплоемкость не является функцией состояния. А теорема Карно справедлива для циклических процессов, поэтому в данном случае она не применима.

Примечание к задаче.

Используя уравнение первого начала термодинамики, можно получить уравнения, описывающие данный процесс в терминах параметров состояния. Так на рисунке показан этот процесс в координатах ( $V, T$ - «объем-температура»)

Процесс в координатах V–t: кривая 1→2→3 с ростом объема, затем горизонтальный участок от 3 к точке 1′ при постоянном объеме; точка 1′ лежит выше точки 1 при той же температуре.

Как видно, процесс, действительно не является циклическим (система не возвращается в исходное состояние). Заметьте, что участок $3 \to 1$ является изохорическим процессом.

Схема оценивания.

Пункт	Содержание	Баллы	Примечания
2.1	Методика расчета теплоты	2
	- элементарная теплота		1
	- площадь под графиком (либо интеграл)		1
2.2	Расчет полученной теплоты	2
	- выбор участков (обоснование)		1
	- численный расчет		1
2.3	Расчет работы	2
	- методика расчета (обоснование)		1
	- численное значение		1
2.4	КПД процесса	1
2.5	КПД цикла Карно	1
2.6	Объяснение парадокса	2
	- есть парадокс		1
	- нет цикла		1
	ИТОГО	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2001_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2001_solutions.pdf