Съдържание

BelPhO 2001, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Минская городская олимпиада школьников по физике 2001 года · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения задач 10 класса в архиве отсутствуют: файл решений содержит только решения задач 9 и 11 классов.

Условие

Два одинаковых легких стержня длиной $l$ насажены на одну горизонтальную ось $A$ , проходящую через нижние концы стержней. Верхние концы стержней соединены легкой упругой (т.е. можно считать, что она подчиняется закону Гука) резинкой жесткости $k$ , длина которой в недеформированной состоянии равна $2a$ . К верхним концам стержней подвешивают на нитях два одинаковых груза. При какой максимальной массе грузов стержни не «опрокинутся» (не опустятся ниже оси)?

Два стержня длиной l, насаженные нижними концами на ось A, образуют букву V; верхние концы соединены резинкой жесткости k длиной 2a; на нитях с верхних концов свисают грузы m; справа вектор $\vec g$.

Отговори

Решение

Рассмотрим зависимость моментов сил, действующих на стержень, от угла его отклонения от вертикали $\alpha$ . (Понятно, что из-за симметрии задачи достаточно рассмотреть один стержень). Для опрокидывания стержня необходимо, чтобы момент силы тяжести

M_1 = mgl\sin\alpha \qquad (1)

превышал момент силы упругости

M_2 = k(2l\sin\alpha - 2a)l\cos\alpha \qquad (2)

при любом положении стержня. Таким образом, неравенство

mgl\sin\alpha > k(2l\sin\alpha - 2a)l\cos\alpha \qquad (3)

Стержень длиной l, отклоненный от вертикали на угол α вокруг оси A; к верхнему концу приложена горизонтальная сила упругости $\vec F_{упр.}$, на нити висит груз с силой тяжести $m\vec g$.

должно выполняться при любом значении угла $\alpha$ в диапазоне от $0$ до $\pi/2$ . Так как в этом диапазоне $\sin\alpha > 0$ , то неравенство (3) можно переписать в виде

m > \frac{2kl}{g} \cdot \frac{(\sin\alpha - \xi)\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad (4)

где обозначено $\xi = \dfrac{a}{l}$ . Найдем максимум функции

f(\alpha) = \frac{(\sin\alpha - \xi)\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha - \xi\,\mathrm{ctg}\,\alpha. \qquad (5)

Вычисляя производную

f'(\alpha) = -\sin\alpha + \frac{\xi}{\sin^2\alpha}

и приравнивая ее к нулю, получаем значение угла $\alpha^*$ , при котором функция (5) принимает максимальное значение

\sin\alpha^* = \sqrt[3]{\xi}. \qquad (6)

Найдем косинус этого угла

\cos\alpha^* = \sqrt{1 - \sin^2\alpha^*} = \sqrt{1 - \xi^{2/3}}

и подставим в неравенство (4)

m > \frac{2kl}{g} \cdot \frac{(\sin\alpha^* - \xi)\cos\alpha^*}{\sin\alpha^*} = \frac{2kl}{g}\left(1 - \frac{\xi}{\sin\alpha^*}\right)\cos\alpha^* =

= \frac{2kl}{g}\left(1 - \xi^{2/3}\right)^{3/2}

Итак, окончательный ответ задачи имеет вид: стержни опрокинутся при

m > \frac{2kl}{g}\left(1 - \left(\frac{a}{l}\right)^{2/3}\right)^{3/2}.

Комментарии к задаче.

1. Представим графически зависимости моментов сил (1),(2) от угла $\alpha$ . На рисунке показан предельный случай, соответствующий найденному решению задачи. График построен при $\xi = 0{,}5$ . Отрицательные значения момента силы упругости в области малых углов соответствуют сжатию резинки.

График зависимости моментов сил M от угла α (от 0 до π, отметки π/4, π/2, 3π/4, π): кривая $M_1$ — полуволна синусоиды, кривая $M_2$ касается $M_1$ вблизи π/4…π/2, проходит через ноль при π/2, имеет минимум около 3π/4 и резко растет к π.

2. Покажем также график исследованной функции $f(\alpha)$ , показывающий, что найденное значение $\alpha^*$ действительно соответствует точке максимума.

График функции f(α) (отметки π/4, α*, π/2, 3π/4, π): максимум в точке α* немного правее π/4, ноль при π/2, минимум около 3π/4, затем резкий рост.

3. Возможно также решение данной задачи на основании анализа зависимости потенциальной энергии системы от угла отклонения при различных значениях масс грузов

U = 2mgl\cos\alpha + \frac{k}{2}(2l\sin\alpha - 2a)^2 =

= 2kl^2\left(\frac{mg}{kl}\cos\alpha - (\sin\alpha - \xi)^2\right).

Если потенциальная кривая имеет минимум в диапазоне $[0, \pi/2]$ , то стержни могут оставаться в положении равновесия выше горизонтали, при исчезновении этого минимума система такого положения равновесия не имеет.

Семейство кривых потенциальной энергии U(α), пронумерованных 1–5 в порядке возрастания массы грузов; у кривых 1–3 есть минимум в области малых углов, у кривых 4 и 5 минимум отсутствует; все кривые пересекаются в одной точке около π/2.

Рисунок показывает изменение зависимости потенциальной энергии от угла $\alpha$ при возрастании увеличении массы грузов (в порядке возрастания номеров кривых), который и демонстрирует этот эффект - так на кривой 4, соответствующей найденному граничному значению массы), минимум отсутствует.

Схема оценивания.

Пункт	Содержание	Баллы	Примечания
2.1	Выражения для моментов сил	4
	- необходимость сравнения моментов		1
	- момент силы тяжести		1
	- момент силы упругости		2
2.2	Исследование зависимостей моментов от угла отклонения	5
	- необходимость анализа		1
	- поиск максимума		1
	- найден максимум		2
2.3	Оформление	1
	ИТОГО	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2001_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2001_solutions.pdf