Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2001, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Минская городская олимпиада школьников по физике 2001 года · 20 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения задач 10 класса в архиве отсутствуют: файл решений содержит только решения задач 9 и 11 классов.

Условие

Диамагнитные свойства кристалла определяются свойствами атомов, из которых образован данный кристалл.

Модель атома: шарообразный остов, вокруг которого вращаются в противоположных направлениях два кольца (стрелки на кольцах); вдоль оси системы вектор $\vec B$.

В качестве модели диамагнитного атома рассмотрим массивный остов, вокруг которого вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю угловыми скоростями два равномерно заряженных непроводящих жестких кольца. (Эти кольца моделируют орбиты электронов, находящихся на последней орбите, поэтому массу и заряд кольца положим равной массе $m$ и заряду $e$ электрона, радиус кольца также будем считать известным и равным $r$ ). Если такой атом попадает в магнитное поле, вектор индукции которого $\vec{B}_0$ направлен вдоль оси системы, то угловые скорости вращения колец изменяются (изменением положений и размеров колец и самих атом при этом пренебрегаем), что приводит к появлению у атома индуцированного магнитного момента. Индуцированные магнитные моменты атомов создают собственное магнитное поле $B'$ , которое складываясь с внешним полем приводит к изменению поля внутри диамагнетика. Так как диамагнетик крайне слабо изменяет внешнее поле, то при расчете поля $B'$ , можно считать, что каждый атом взаимодействует с полем, которое равно внешнему полю $\vec{B}_0$ .

1.1 Покажите, что при изменении индукции магнитного поля от нуля до $B_0$ изменение модуля угловой скорости вращения каждого кольца определяется формулой $\Delta\omega = \dfrac{e}{2m} B_0$ .

1.2 Если два одинаковых кольца вращаются в противоположных направлениях с различными скоростями, то движение их зарядов создает постоянный электрический ток (молекулярный ток). Найдите силу этого тока , на отдельном рисунке укажите направление тока (не забудьте указать на этом же рисунке направление магнитного поля).

1.3 Определите индуцированный магнитный момент $p_m$ отдельного атома и магнитный момент $J$ единицы объема магнетика, если концентрация атомов в этом веществе известна и равна $n$ .

Подсказка. Магнитным моментом контура с током называется произведение силы тока в контуре на площадь контура.

1.4 Рассмотрите сплошной цилиндр, изготовленный из рассматриваемого диэлектрика, размеры которого значительно превышают размеры атома, помещенный во внешнее однородное магнитное поле $\vec{B}_0$ , направленное вдоль оси цилиндра. Совокупность молекулярных токов приводит к появлению поверхностного тока Найдите линейную плотность $i$ (заряд, протекающий за единицу времени через единицу длины) этого тока и величину индукции поля внутри магнетика $B'$ , созданного поверхностным током.

Сплошной цилиндр с поверхностными токами i (стрелки по боковой поверхности); под ним вектор $\vec B$ вдоль оси цилиндра.

Подсказка. Выразите магнитным момент цилиндра как через магнитный момент отдельного атома, так и через плотность поверхностного тока.

1.5 Учитывая, что магнитное поле $B$ внутри однородно намагниченного магнетика определяется формулой $B = \mu B_0$ , получите выражение для магнитной проницаемости рассматриваемого диамагнетика $\mu$ .

1.6 Оцените в рамках рассмотренной модели магнитную проницаемость меди. Вычислите величину $(1 - \mu)$ , используя следующие характеристики меди: плотность $\rho \approx 8{,}9 \cdot 10^3\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ ; молярная масса $M = 64 \cdot 10^{-3}\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ ; радиус атома $r = 0{,}6 \cdot 10^{-10}\ \text{м}$ . Физические константы: заряд электрона $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{Кл}$ ; масса электрона $m = 0{,}9 \cdot 10^{-30}\ \text{кг}$ , число Авогадро $N_A = 6 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$ , магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \dfrac{\text{Гн}}{\text{м}}$ .

Отговори

Решение

1.1 При изменении магнитного поля, вследствие явления электромагнитной индукции, появляется электрическое поле, с которым взаимодействуют заряды кольца. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для кольца

mr^2\frac{\Delta\omega}{\Delta t} = e\tilde{E}r, \qquad (1)

где $\tilde{E}$ - среднее значение тангенциальной составляющей вихревого электрического поля.

Примечание. Уравнение (1) можно получить и без использования «готового» уравнения динамики вращательного движения - на основании рассмотрения динамики движения отдельных малых элементов кольца.

По закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, поэтому справедливо соотношение

2\pi r\tilde{E} = -\pi r^2\frac{\Delta B}{\Delta t}, \qquad (2)

из которого следует

r\tilde{E} = -\frac{r^2}{2}\frac{\Delta B}{\Delta t}. \qquad (3)

После подстановки выражения (3) в уравнение (1) и сокращения на $\Delta t$ , получаем требуемое соотношение для модуля изменения угловой скорости

\Delta\omega = \frac{e}{2m}B_0. \qquad (4)

1.2 Сила тока отдельного кольца может быть вычислена по определению

I_1 = \frac{e}{T} = \frac{e\omega}{2\pi}, \qquad (5)

где $T$ - период обращения. Сила тока двух колец равна сумме токов отдельных колец, поэтому (учитывая, что их скорости $\omega_{1,2} = \pm\omega_0 + \Delta\omega$ , где $\omega_0$ - угловые скорости до включения магнитного поля)

I = \frac{e}{2\pi}(\omega_1 + \omega_2) = \frac{e}{\pi}\Delta\omega = \frac{e^2}{2\pi m}B_0. \qquad (6)

Направление тока легко определить по правилу Ленца - он создает поле, противоположное внешнему полю.

1.3 Магнитный момент отдельного атома определяется по формуле

p_m = I\pi r^2 = \frac{e^2 r^2}{2m}B_0, \qquad (7)

а магнитный момент единицы объема

J = np_m = \frac{e^2 r^2}{2m}nB_0. \qquad (8)

1.4 Обозначим высоту цилиндра $h$ , а его радиус $R$ , тогда его магнитный момент может быть записан в двух формах

\begin{aligned} P_m &= JV = \frac{e^2 r^2}{2m}nB_0\pi R^2 h; \\ P_m &= ih\pi R^2; \end{aligned} \qquad (9)

приравнивая которые получим

i = J = \frac{e^2 r^2}{2m}nB_0. \qquad (10)

Магнитное поле, созданное этим полем можно вычислить используя формулу для индукции поля внутри соленоида $B = \mu_0\dfrac{NI}{l}$ , в которой произведение силы тока на плотность намотки является линейной плотностью токов, поэтому

B' = \mu_0 i = \mu_0\frac{e^2 r^2}{2m}nB_0. \qquad (11)

1.5 Так как поле $B'$ направлено противоположно внешнему полю $B_0$ , то поле внутри магнетика будет равно

B = B_0 - B' = \left(1 - \mu_0\frac{e^2 r^2}{2m}n\right)B_0, \qquad (12)

Сравнивая это выражение с формулой приведенной в условии, получим выражение для магнитной проницаемости

\mu = 1 - \mu_0\frac{e^2 r^2}{2m}n. \qquad (13)

1.6 Для проведения численных расчетов необходимо выразить значение концентрации атомов через известные постоянные $n = \dfrac{\rho}{m_{Cu}} = \dfrac{\rho N_A}{M}$ , где $m_{Cu} = \dfrac{M}{N_A}$ - масса атома меди. Окончательное выражение для магнитной проницаемости принимает вид

1 - \mu = \mu_0\frac{e^2 r^2}{2m} \cdot \frac{\rho N_A}{M} =

= 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{(1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}6 \cdot 10^{-10})^2}{2 \cdot 0{,}9 \cdot 10^{-30}} \cdot \frac{8{,}9 \cdot 10^3 \cdot 6 \cdot 10^{23}}{64 \cdot 10^{-3}} \approx 5 \cdot 10^{-6}

Заметим, что табличное значение рассчитанной величины для меди равно $1{,}0 \cdot 10^{-5}$ , что отличается всего в два раза.

Схема оценивания.

Пункт	Содержание	Баллы	Примечания
1.1	Вывод формулы (4)	4
	- закон эл.-маг. индукции		1
	-выражение для средней напряженности эл. поля		1
	- ур-ние движения		1
	- его решение		1
1.2	Всего	3
	- сила тока одного витка		1
	- суммарный ток		1
	- направление тока		1
1.3	Всего	2
	- магнитный момент атома		1
	- магнитный момент объема		1
1.4	Всего	5
	- выражение момента через поверхностный ток		1
	- равенство моментов		1
	- выражение для $i$		1
	- выражение для $B'$		2
1.5	Всего	2
	- разность полей		1
	- выражение для $\mu$		1
1.6	Всего	3
	- выражение для $n$		1
	- численный расчет		2
	Оформление	1
	ИТОГО	20

Оригинал в Архива: 3_etap_2001_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2001_solutions.pdf