Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. 10.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 13 т.

Условие

Воздушный шар-зонд наполняют воздухом, нагретым до температуры $t_0 = 90^{\circ}C$ . Конструкция шара такова, что его объем $V = 130\ \mathrm{м}^3$ все время остается постоянным, а давление воздуха в шаре равно атмосферному. Суммарная масса оболочки и груза равна $m = 6{,}0\ \mathrm{кг}$ . Шар запускают с поверхности земли в безветренную погоду: температура воздуха $t_a = 15^{\circ}C$ , атмосферное давление $p_a = 1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Па}$ . Молярная масса воздуха $M = 29 \cdot 10^{-3}\ \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}$ . Сразу после запуска скорость шара стала равной $v_0 = 0{,}35\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{c}}$ . Температура воздуха $t$ внутри шара уменьшается со временем $\tau$ по закону, представленному на графике. Определите по этим данным максимальную высоту подъема шара. Считайте, что температура и давление атмосферы от высоты не зависят. Сила сопротивления воздуха, действующая на шар, пропорциональна его скорости.

Воздушный шар-зонд: сферическая оболочка со стропами, сходящимися к грузу внизу.

График t, °C от τ, мин на клетчатой сетке: почти линейно убывающая кривая от 80 °C при τ = 0 до 20 °C при τ = 20 мин; деления по t: 20, 40, 60, 80; по τ: 5, 10, 15, 20.

Отговори

Решение

10.5 При подъеме шара, на него действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ , подъемная сила Архимеда $\vec{F}_A$ , сила сопротивления $\vec{F}_{\mathrm{сопр.}} = -\beta\vec{v}$ , пропорциональная скорости подъема. Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для шара будет иметь вид

ma = F_A - mg - \beta v. \qquad (1)

Так как шар движется в воздухе достаточно медленно, то можно считать, что в любой момент времени сила сопротивления уравновешивает разность сил Архимеда и тяжести. Иными словами, можно пренебречь инерционными эффектами и положить $ma = 0$ . Тогда из уравнения (1) получим выражение для скорости подъема

\beta v = F_A - mg. \qquad (2)

Подъемная сила вычисляется по формуле

F_A = Vg\left(\rho_0 - \rho\right), \qquad (3)

где $\rho_0, \rho$ - плотности холодного (наружного) и теплого (внутри шара) воздуха. Эти плотности можно выразить из уравнения состояния идеального газа $PV = \frac{m}{M}RT$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}. \qquad (4)

Используя формулы (3)-(4), получаем выражение для скорости подъема

\beta v = Vg\frac{PM}{R}\left(\frac{1}{T_a} - \frac{1}{T}\right) - mg. \qquad (5)

Неизвестный коэффициент $\beta$ можно получить из аналогичной формулы для начальной скорости. Таким образом, окончательное выражение для скорости подъема принимает «несколько угрожающий» вид

v = \frac{Vg\dfrac{PM}{R}\left(\dfrac{1}{T_a} - \dfrac{1}{T}\right) - mg}{Vg\dfrac{PM}{R}\left(\dfrac{1}{T_a} - \dfrac{1}{T_0}\right) - mg}. \qquad (6)

По этой формуле с помощью приведенного в условии графика зависимости температуры от времени можно построить зависимость скорости подъема от времени. Для ускорения последующих расчетов в формуле (6) необходимо провести промежуточные вычисления (приведя все величины в систему СИ) и привести ее к виду, пригодному для расчетов

v = 2{,}305 - \frac{690}{273 + t^{\circ}}, \qquad (7)

где $t^{\circ}$ - температура внутри шара, измеренная по шкале Цельсия. Результаты расчетов приведены в таблице и на графике.

Силы, действующие на шар: вверх сила сопротивления F_сопр., вниз сила тяжести mg, вверх сила Архимеда F_A.

$\tau$ , мин	$t^{\circ}C$	$v$ , $\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{c}}$
0	80	0,39
3	70	0,29
6	60	0,23
9	50	0,17
12,5	40	0,10
16	30	0,03
20	20	-0,05

Таким образом, мы получили, что скорость подъема убывает по линейному закону. Время подъема составляет примерно $\tau \approx 18\ \mathrm{мин}$ . Следовательно, высота подъема $H = \frac{v_0\tau}{2} \approx 190\ \mathrm{м}$ .

График v, м/с от t, мин: точки на убывающей прямой от примерно 0,35 м/с при t = 0 до −0,05 м/с при t = 20 мин; прямая пересекает ось времени около 18 мин; деления по v: −0,1, 0,2, 0,4; по t: 10, 20.

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf