Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. 11.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 11 т.

Условие

Изотропный точечный источник света $S$ , полная энергетическая световая мощность которого равна $I$ , расположен в фокусе собирающей линзы радиуса $r$ . Фокусное расстояние линзы равно $F$ .

Точечный источник S в фокусе собирающей линзы радиуса r на расстоянии F; расходящиеся лучи после линзы идут параллельно оси.

Пренебрегая поглощением и дисперсией света, найдите величину и направление силы светового давления на линзу.

Отговори

Решение

11.2 Для расчета силы светового давления воспользуемся корпускулярными представлениями о природе света. Каждый фотон обладает энергией $\varepsilon$ и импульсом $p$ , которые определяются формулами

\varepsilon = h\nu, \quad p = \frac{h\nu}{c} = \frac{\varepsilon}{c}, \qquad (1)

где $\nu$ - частота света, $h$ - постоянная Планка, $c$ - скорость света.

Всякое изменение направления распространения приводит к изменению направления вектора импульса, следовательно, должно сопровождаться появлением силы светового давления. При прохождении света через линзу расходящийся пучок превращается в параллельный.

Лучи из точечного источника падают на линзу и после нее идут параллельно оси.

Векторная диаграмма: импульс фотона до линзы p_0, после — p_1 (горизонтально), приращение Δp и противоположный ему импульс линзы p_л.

Рассмотрим изменение импульса отдельного фотона при его преломлении в линзе. Если до линзы импульс фотона был $\vec{p}_0$ , а после прохождения стал $\vec{p}_1$ (модуль вектора при этом, естественно, не изменяется), то фотон получил приращение импульса $\Delta\vec{p}$ . Равный ему, но противоположный по направлению импульс $\vec{p}_{\mathrm{л}}$ получит линза. Таким образом, в целом линза получит импульс, направленный в сторону источника - линза притягивается к источнику!

Для расчета силы, действующей на линзу необходимо рассчитать суммарное изменение импульса света при его прохождении через линзу. Рассмотрим сферическую поверхность с центром на источнике света, с радиусом равным фокусному расстоянию. Через линзу пройдут те фотоны, которые летят в пределах телесного угла, опирающегося на линзу. После преломления все эти фотоны будут двигаться вдоль оптической оси, поэтому импульс переносимый этими фотонами в единицу времени можно подсчитать следующим образом. Поток энергии, деленный на скорость света, равен потоку импульса (то есть, импульсу, переносимому в единицу времени). Плотность этого потока (поток через единичную площадь) на выбранной нами сфере определяется выражением

G = \frac{I}{4\pi F^2c}. \qquad (2)

Тогда поток импульса фотонов, прошедших через линзу, равен

P_1 = GS_{\Omega} = \frac{I}{4\pi F^2c}\cdot 2\pi F\left(F - \sqrt{F^2 - r^2}\right) = \frac{I}{2c}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{r^2}{F^2}}\right), \qquad (3)

здесь $S_{\Omega}$ - площадь поверхности сферического сегмента, опирающегося на линзу.

Линза радиуса r на расстоянии F от источника; сферическая поверхность Ω с центром в источнике; малый участок ΔS сферы и его проекция ΔS_0 на плоскость линзы; угол θ и вектор P.

Для подсчета импульса этих фотонов до преломления в линзе необходимо просуммировать проекции импульсов на направление оптической оси, так как из осевой симметрии следует, что суммарный импульс будет направлен вдоль оси. Разобьем поверхность сферы на малые участки $\Delta S$ , запишем выражение для проекции потока импульса через этот участок

\Delta P_{0z} = G\Delta S\cos\theta, \qquad (4)

и обратим внимание, что $\Delta S\cos\theta = \Delta S_0$ есть площадь проекции выделенного участка на плоскость линзы. Поэтому сумма величин типа (4) будет равна произведению плотности потока импульса на площадь линзы

P_0 = G\pi r^2 = \frac{I}{2c}\cdot\frac{r^2}{2F^2}. \qquad (5)

Таким образом, сила давления $f$ равна разности потоков импульсов (3) и (5)

f = \frac{I}{2c}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{r^2}{F^2}} - \frac{r^2}{2F^2}\right). \qquad (6)

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf