Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 8 т.

Условие

Для установки обелиска высотой $h$ насыпан холм с углом уклона равным $\alpha$ . Обелиск лежит на склоне холма, опираясь своей нижней частью на фундамент. К вершине обелиска прикрепляют прочный трос, который натягивают с помощью лебедки, расположенной на расстоянии $l = 2h$ от основания обелиска. При каком минимальном коэффициенте трения обелиска о фундамент $\mu$ , подъем обелиска мог быть осуществлен? Обелиск можно считать тонким однородным стержнем.

Обелиск длины h лежит на склоне холма с углом α, нижним концом на фундаменте; трос от вершины обелиска к лебедке на расстоянии l от основания.

Отговори

Решение

Силы на обелиск CB длины h под углом α: натяжение троса T вдоль BA к лебедке A (угол β с горизонтом, AC = l), сила тяжести mg, нормальная реакция N и сила трения F_тр. в точке C; D — основание перпендикуляра из C на трос, E — проекция B на землю.

11.3 На рисунке изображены силы, действующие на обелиск во время подъема (все обозначения традиционные). Для того чтобы обелиск не соскользнул с фундамента, необходимо, чтобы сила трения покоя не превысила своего максимального значения $\mu N$ . Будем считать, что подъем осуществляется медленно, поэтому в любой момент времени сумма сил равна нулю. Это условие в проекции на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид

\begin{aligned} F_{\mathrm{тр.}} &= T\cos\beta \\ N &= mg + T\sin\beta \end{aligned}. \qquad (1)

Следовательно, условие возможности подъема записывается в виде неравенства

T\cos\beta \le \mu\left(mg + T\sin\beta\right). \qquad (2)

Для определения силы натяжения троса запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки опоры

Tl\sin\beta = mg\frac{h}{2}\cos\alpha, \qquad (3)

здесь $l\sin\beta$ плечо силы натяжения троса. Из этого уравнения найдем

T = \frac{mg\cos\alpha}{4\sin\beta}

и подставим в неравенство (2), которое упрощается

\mu \ge \frac{\cos\alpha}{\left(4 + \cos\alpha\right)\mathrm{tg}\beta}. \qquad (4)

Тангенс угла $\beta$ выразим из треугольника $ABE$

\mathrm{tg}\beta = \frac{h\sin\alpha}{l + h\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{2 + \cos\alpha}. \qquad (5)

Окончательно, получаем требуемое условие

\mu \ge \frac{\left(2 + \cos\alpha\right)\cos\alpha}{\left(4 + \cos\alpha\right)\sin\alpha}. \qquad (6)

Можно показать (на рис. показан ее график), что стоящая справа функция является монотонно убывающей, поэтому, если скольжение не началось в начальный момент подъема (при минимальном значении угла $\alpha$ ), то оно не начнется и позже.

График μ от α на клетчатой сетке: монотонно убывающая кривая от μ = 1,0 до нуля при α = π/2; отмечено 0,5.

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf