Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 12 т.

Условие

В большую кастрюлю налили $V_0 = 2{,}0\ \mathrm{л}$ холодной воды при температуре $t_0 = 15^{\circ}C$ и поставили на включенную электроплиту. За время $\tau_0 = 5{,}0\ \mathrm{мин}$ температура воды достигла $t_1 = 45^{\circ}C$ . После этого в кастрюлю стали медленно доливать холодную воду (при температуре $t_0 = 15^{\circ}C$ ) с постоянной скоростью $\nu = 100\ \frac{\mathrm{см}^3}{\mathrm{мин}}$ , постоянно ее перемешивая в кастрюле. Постройте примерный график зависимости температуры воды в кастрюле от времени. При какой скорости наливания холодной воды $\nu_1$ температура воды будет оставаться постоянной во время наливания? Потерями теплоты и теплоемкостью кастрюли пренебречь.

Отговори

Решение

9.2. Найдем тепловую мощность $P$ плиты из уравнения теплового баланса

P\tau_0 = c\rho V_0\left(t_1 - t_0\right), \qquad (1)

P = \frac{c\rho V_0\left(t_1 - t_0\right)}{\tau_0}, \qquad (2)

где $\rho$ и $c$ - плотность и удельная теплоемкость воды, соответственно.

На этом этапе нагревания температура будет возрастать прямо пропорционально времени. Через время $\tau$ после начала подливания, в кастрюле будет находиться

V = V_0 + \nu\tau \qquad (3)

литров воды. Всего за время нагревания вода получит от нагревателя количество теплоты, которое определяется формулой

Q = P\left(\tau_0 + \tau\right). \qquad (4)

Уравнение теплового баланса (за все время нагревания) будет иметь вид

P\left(\tau_0 + \tau\right) = c\rho\left(V_0 + \nu\tau\right)\left(t - t_0\right), \qquad (5)

где $t$ - температура воды в момент времени $\tau$ . Подставляя выражение (2) для мощности нагревателя, получаем искомую функцию зависимости температуры от времени

t = t_0 + \left(t_1 - t_0\right)\frac{\left(1 + \dfrac{\tau}{\tau_0}\right)}{\left(1 + \dfrac{\nu\tau}{V_0}\right)}. \qquad (6)

Эта функция является монотонной, стремящейся к предельному значению (при $\tau \gg \tau_0$ )

t^* = t_0 + \left(t_1 - t_0\right)\frac{V_0}{\nu\tau_0}, \qquad (7)

которое при заданных численных значениях параметров равно $t^* = 135^{\circ}$ . Это значение превышает температуру кипения, поэтому увеличение температуры прекратится при достижении температуры кипения $t_{\mathrm{кип}} = 100^{\circ}$ . Можно найти момент времени, когда начнется кипение, для этого в уравнении (6) необходимо положить $t = t_{\mathrm{кип}} = 100^{\circ}$ и найти соответствующее значение времени $\tau \approx 28\ \mathrm{мин}$ .

График t, °C от τ, мин: кривая растет от 15–20 °C, выпукло поднимается и примерно при 32 мин выходит на горизонталь 100 °C; деления по t: 20, 40, 60, 80, 100; по τ: 10, 20, 30, 40.

График полученной зависимости показан на рисунке. Значение скорости наливания $\nu_1$ , при котором температура воды в кастрюле будет оставаться постоянной можно найти из формулы (6), в котором второе слагаемое должно не зависеть от времени $\tau$ . Это возможно, только при $\frac{\tau}{\tau_0} = \frac{\nu\tau}{V_0}$ . То есть, при $\nu = \frac{V_0}{\tau_0} = 0{,}4\ \frac{\mathrm{л}}{\mathrm{мин}}$ .

Заметим, что это же значение можно получить из уравнения теплового баланса $c\rho\nu_1\left(t_1 - t_0\right) = P$ .

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf