BelPhO 2002, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9-1

• а) $l_{\min} = \frac{L}{2}$
• б) $t_{\min} = \frac{L}{2v}$
• в) $\tau_{\max} = \frac{L}{v}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{\left(\frac{v}{u}\right)^2 - 1} + 3}$
• г) $v_{\min} = \sqrt{\frac{Lg}{2}}$

Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной скоростью $\vec{V}_{\text{отн}} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$. Модуль этой скорости равен

а ее вектор направлен под углом $\dfrac{\alpha}{2} = 30^{\circ}$ к отрезку АВ (см рис). Следовательно, корабль В движется относительно корабля А по прямой ВС.

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

б) Очевидно, что шлюпка, спущенная с корабля В, достигнет корабля А за минимальное время, если скорость их сближения максимальна, а начальное расстояние между ними минимально. Эти условия будут выполнены, если шлюпку сразу спустить на воду и направить ее навстречу кораблю А. Тогда время, за которое шлюпка достигнет корабля А вычисляется по формуле

в) Пусть капитан корабля В отправляет шлюпку через время $\tau$ (нам необходимо найти его максимально возможное значение) в точке S, а затем через время $t$ шлюпка встречается с кораблем А в точке D (см. рис. ). За это время корабль А пройдет путь $\left|AD\right| = v\left(t + \tau\right)$. Как следует из рис. , чтобы шлюпка и корабль А встретились должно выполняться условие (которое следует из теоремы косинусов для треугольника BSD)

Для того, чтобы найти максимальное значение времени $\tau$ необходимо рассмотреть выражение (4) как уравнение относительно величины $t$ и определить условия (значения $\tau$), при которых оно имеет неотрицательное решение. В принципе этот путь решения задачи приведет к успеху, правда путем долгих и громоздких алгебраических преобразований.

Кстати, это же уравнение (при $u = v$) можно использовать для алгебраического обоснования результата, полученного в п. б). Решив это уравнение относительно $t$, можно получить зависимость времени движения $\left(t + \tau\right)$ от времени $\tau$, а затем найти минимум этой функции. Этот способ приводит к уже полученному результату: функция $\left(t + \tau\right)$ монотонно возрастает с ростом $\tau$, следовательно ее минимум достигается при $\tau = 0$.

Вернемся к решению пункта в).

Опять рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с кораблем А. В этой системе диаграмма перемещений кораблей и шлюпки имеет вид, показанный на рис. , здесь обозначено $\beta = \dfrac{\alpha}{2}$, $\vec{u}_{\text{отн}} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ - скорость шлюпки, относительно корабля А. На рисунке видно, что время $\tau$ (или что то же самое перемещение $V\tau$) будет максимально при максимальном угле $\gamma$, между направлением относительной скорости $\vec{u}_{\text{отн}}$ и отрезком АВ. Максимальное значение этого угла можно найти, построив диаграмму скоростей (рис. ) .

Вектор скорости шлюпки $\vec{u}$ может быть направлен под произвольным углом, иными словами его конец может располагаться в любой точке нарисованной окружности. Как следует из рисунка угол $\gamma$ будет максимален, если вектор $\vec{u}_{\text{отн}}$ будет касательным к этой окружности. Таким образом, $\sin\gamma_{\max} = \dfrac{u}{v}$.

Запишем теорему синусов для треугольника ABS

где $\left(\pi - \beta - \gamma_{\max}\right)$ - угол ASB. Из выражения (5) находим

Отметим, что при

1. $u \to 0$ $\tau_{\max} \to 0$, т.е. шлюпку надо сразу спускать на воду и ждать пока к ней подплывет второй корабль;

2. при $u = v$, капитан может подождать в течении времени $\tau_{\max} = \dfrac{2L}{3V}$;

3. при $u > v$ шлюпка может догнать корабль после любого времени ожидания $\tau$.

г) Скорость снаряда будет минимальна, если он пролетит минимальное расстояние, будучи выпущен под углом 45° к горизонту. Следовательно эту скорость можно найти из уравнения $\dfrac{v_{\min}^2}{g} = l_{\min}$, или