Съдържание

BelPhO 2002, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Минская городская олимпиада. ФИЗИКА. 2002 год

Внимание: Бележка към темата

В архиве есть решения только для 9 и 10 классов; решений задач 11 класса нет.

Условие

Муфта массы $m$ насажена на жесткий гладкий горизонтальный стержень АВ и с помощью легкой нерастяжимой веревки и неподвижного гладкого блока уравновешена грузом такой же массы $m$ . Муфту сместили на расстояние $x_0$ . Расстояние от оси блока до стержня $h$ .

Найдите:

Горизонтальный стержень AB с муфтой массы m под блоком; веревка через блок к висящему грузу m; высота h от стержня до блока; смещенное положение муфты на расстоянии x0 влево показано наклонной нитью; стрелка g вниз.

а) совершенную при сдвигании муфты работу внешних сил;

б) максимальную скорость муфты при движении;

в) постройте примерные графики зависимостей скоростей муфты и груза от координаты муфты;

г) пусть $h = 1{,}0\ \text{см}$ , $x_0 = 1{,}0\ \text{м}$ . Оцените период колебаний муфты.

Отговори

Решение

При смещении муфты на расстояние $x$ висящий груз поднимется на высоту

y = \sqrt{x^2 + h^2} - h. \qquad (1)

Вычисляя производную по времени от этого выражения, установим связь между скоростями муфты $v$ и груза $u$

u = v\frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}. \qquad (2)

Блок над стержнем, высота h; нить от блока к муфте, смещенной на x влево (скорость v), под углом α к стержню; груз m поднимается со скоростью u; оси X (влево) и Y (вверх), координата y груза.

Заметим, что последнее соотношение $u = v\cos\alpha$ можно найти путем геометрических векторных построений.

а) Работа внешних сил при смещении муфты равна изменению потенциальной энергии груза, поэтому

A = mgy = mg\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - h\right). \qquad (3)

б) Заметим, что когда муфта проходит положение равновесия (нить вертикальна), скорость груза обращается в нуль. Поэтому муфта будет иметь максимальную скорость именно при прохождении положения равновесия, так как в этом положении изменение потенциальной энергии максимально, и вся запасенная энергия (3) перейдет в кинетическую энергию муфты. Эту максимальную скорость найдем из закона сохранения механической энергии

\frac{mv_{\max}^2}{2} = mg\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - h\right),

или

v_{\max} = \sqrt{2g\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - h\right)}. \qquad (4)

в) Для определения скорости муфты в произвольной точке опять воспользуемся законом сохранения механической энергии (кинетическая энергия муфты и груза равна изменению потенциальной энергии груза):

\frac{mv^2}{2} + \frac{mu^2}{2} = mg\left(\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - h\right) - \left(\sqrt{x^2 + h^2} - h\right)\right).

Используя соотношение (2), находим искомые скорости

муфты

v = \sqrt{2g\frac{x^2 + h^2}{2x^2 + h^2}\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - \sqrt{x^2 + h^2}\right)}, \qquad (5)

и груза

u = \sqrt{2g\frac{x^2}{2x^2 + h^2}\left(\sqrt{x_0^2 + h^2} - \sqrt{x^2 + h^2}\right)}. \qquad (6)

Для построения графиков этих функций их удобно представить в виде

\frac{v}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{\xi^2 + 1}{2\xi^2 + 1}\left(\sqrt{\xi_0^2 + 1} - \sqrt{\xi^2 + 1}\right)};,

\frac{u}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{\xi^2}{2\xi^2 + 1}\left(\sqrt{\xi_0^2 + 1} - \sqrt{\xi^2 + 1}\right)};

где обозначено $\xi = \dfrac{x}{h}$ . Графики модулей этих функций (при $\xi_0 = 2,\quad \xi_0 = 4$ ) представлены на рисунке.

Два графика на сетке от −5 до 5 по оси ξ: слева v/√(2gh) — две арки с вершинами при ξ=0 (для ξ0=2 и ξ0=4); справа u/√(2gh) — по две арки на кривую с нулем при ξ=0; на вертикальных осях отметки 1 и 2.

г) Обратим внимание, что численные значения параметров таковы, что $x_0 \gg h$ . Поэтому практически все время движения (за исключением малого участка вблизи положения равновесия) нить, удерживающая муфту, горизонтальна. В этом случае можно приближенно считать, что муфта движется с постоянным ускорением $a = \dfrac{g}{2}$ (убедитесь в этом самостоятельно). Следовательно, время ее движения от крайнего положения до положения равновесия определяется формулой $\tau = \sqrt{\dfrac{2x_0}{a}} = 2\sqrt{\dfrac{x_0}{g}}$ , а период движения, очевидно в четыре раза больше $T = 8\sqrt{\dfrac{x_0}{g}} \approx 2{,}5\ \text{с}$ .

Оригинал в Архива: 3_etap_2002_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2002_solutions.pdf