Съдържание

BelPhO 2002, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Минская городская олимпиада. ФИЗИКА. 2002 год

Внимание: Бележка към темата

В архиве есть решения только для 9 и 10 классов; решений задач 11 класса нет.

Условие

Небольшая шайба покоится на наклонной плоскости АВ, которая может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку А. Если поднимать наклонную плоскость с предельно малой угловой скоростью ( $\omega \to 0$ ), то скольжение шайбы начнётся в момент, когда угол $B\hat{A}C = \alpha$ . С какой постоянной угловой скоростью $\Omega$ поднимают плоскость, если известно, что скольжение шайбы в этом случае началось при $B\hat{A}C = \beta\ (\beta > \alpha)$ . Шайба находится на расстоянии $l$ от оси вращения.

Наклонная плоскость AB, поворачивающаяся вокруг точки A над горизонталью AC; шайба на расстоянии l от A; стрелка вращения и стрелка g вниз.

Отговори

Решение

При неподвижной наклонной плоскости скольжение бруска начинается когда проекция силы тяжести на наклонную плоскость превышает максимальную силу трения покоя, как известно это граничное условие связывает угол наклона и коэффициент трения соотношением

\mu = tg\alpha. \qquad (1)

При равномерном вращении плоскости шайба движется с центростремительным ускорением $a = \Omega^2 l$ , поэтому в проекции на наклонную плоскость уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид (мы предполагаем, что шайба стремится соскользнуть вниз):

m\Omega^2 l = mg\sin\beta - F_{\text{тр.}} \qquad (2)

Шайба на наклонной плоскости с силами: N перпендикулярно плоскости, F_тр вдоль плоскости вверх, mg вниз; стрелка g и стрелка вращения.

Скольжение начнется, когда $F_{\text{тр.}}$ достигнет величины

\mu N = \mu mg\cos\beta. \qquad (3)

Из уравнений (1)-(3) находим

\Omega = \sqrt{\frac{g}{l}\left(\sin\beta - tg\alpha\cdot\cos\beta\right)} = \sqrt{\frac{g}{l}\frac{\sin\left(\beta - \alpha\right)}{\cos\alpha}} \qquad (4)

Заметим, что при больших угловых скоростях шайба может начать скользить вверх по наклонной плоскости, в этом случае сила трения изменит направление на противоположное. Такое движение начнется, если угловая скорость достигнет величины

\Omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l}\left(\sin\beta + tg\alpha\cdot\cos\beta\right)} = \sqrt{\frac{g}{l}\frac{\sin\left(\beta + \alpha\right)}{\cos\alpha}}. \qquad (5)

Так как в условии задачи, не указано направление сдвига шайбы, то данная задача имеет два ответа (4) и (5).

Оригинал в Архива: 3_etap_2002_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2002_solutions.pdf