Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

Материальная точка прошла путь $S$ . Определите среднюю скорость и среднее ускорение точки за весь пройденный путь, если

а) первую половину времени движения точка двигалась с постоянной скоростью $v_1$ , а его вторую половину с постоянной скоростью $v_2$ ;

б) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянной скоростью $v_1$ , а его вторую половину с постоянной скоростью $v_2$ ;

в) первую половину времени движения точка двигалась с постоянным ускорением $a_1$ , а его вторую половину с постоянным ускорением $a_2$ ;

г) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянным ускорением $a_1$ , а его вторую половину с постоянным ускорением $a_2$ .

В пунктах в), г) начальная скорость точки равнялась нулю, и скорость менялась непрерывно за все время движения.

Отговори

Решение

По определению, средней скоростью называется отношение пройденного пути ко времени движения $\langle v\rangle = \dfrac{S}{t}$ , а средним ускорением отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло $\langle a\rangle = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ .

а) Обозначим все время движение точки $\tau$ . Тогда средняя скорость может быть рассчитана по формуле

\langle v\rangle = \frac{v_1\frac{\tau}{2} + v_2\frac{\tau}{2}}{\tau} = \frac{v_1+v_2}{2}. \qquad (1)

Изменение скорости $\Delta v = v_2 - v_1$ , произошло за время движения $\tau = \dfrac{S}{\langle v\rangle} = \dfrac{2S}{v_1+v_2}$ , поэтому среднее ускорение

\langle a\rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2S}. \qquad (2)

б) В этом случае время движения $\tau = \dfrac{S}{2v_1} + \dfrac{S}{2v_2} = \dfrac{S}{2}\dfrac{v_1+v_2}{v_1v_2}$ , поэтому средняя скорость

\langle v\rangle = \frac{S}{\tau} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}, \qquad (3)

а среднее ускорение

\langle a\rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{2v_1v_2(v_2-v_1)}{S(v_2+v_1)}. \qquad (4)

в) Учитывая, что начальная скорость точки на первом участке равна нулю, а начальная скорость на втором участке равна конечной скорости первого участка, запишем выражение для пройденного пути

S = \frac{a_1\left(\frac{\tau}{2}\right)^2}{2} + a_1\left(\frac{\tau}{2}\right)\cdot\left(\frac{\tau}{2}\right) + \frac{a_2\left(\frac{\tau}{2}\right)^2}{2} = \frac{\tau^2}{8}(3a_1+a_2),

из которого определим время движения

\tau = \sqrt{\frac{8S}{3a_1+a_2}}. \qquad (5)

Таким образом, средняя скорость в этом случае

\langle v\rangle = \frac{S}{\tau} = \sqrt{\frac{S(3a_1+a_2)}{8}}. \qquad (6)

Изменение скорости на всем пути определяется формулой $\Delta v = a_1\dfrac{\tau}{2} + a_2\dfrac{\tau}{2}$ , поэтому среднее ускорение в этом случае равно

\langle a\rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{a_1+a_2}{2}. \qquad (7)

г) Пусть первую половину пути точка прошла за время $\tau_1$ , которое можно определить из формулы

\frac{S}{2} = \frac{a_1\tau_1^2}{2} \quad\Rightarrow\quad \tau_1 = \sqrt{\frac{S}{a_1}}. \qquad (8)

Для второго участка пути справедливо соотношение $\dfrac{S}{2} = a_1\tau_1\tau_2 + \dfrac{a_2\tau_2^2}{2}$ , из которого найдем время движения на втором участке (с учетом формулы (8))

\tau_2 = \sqrt{S}\,\frac{\sqrt{a_1+a_2} - \sqrt{a_1}}{a_2}. \qquad (9)

Теперь можно найти среднюю скорость

\langle v\rangle = \frac{S}{\tau_1+\tau_2} = \sqrt{a_1S}\,\frac{a_2}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2+a_1)}} \qquad (10)

и среднее ускорение

\langle a\rangle = \frac{\Delta v}{\tau_1+\tau_2} = \frac{a_1\tau_1 + a_2\tau_2}{\tau_1+\tau_2} = \frac{a_2\sqrt{a_1(a_2+a_1)}}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2+a_1)}}. \qquad (11)

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf