Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

В высоком вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем находится углекислый газ и газированная вода (раствор углекислого газа в воде). Поршень плотно пригнан к стенкам сосуда и может скользить вертикально без трения. При массе поршня $m_0$ он находится в равновесии на расстоянии $h_0$ от поверхности воды, при увеличении массы поршня до величины $m_1$ он опускается до расстояния $h_1$ . Какова должна быть масса поршня, чтобы он достиг поверхности воды? Все процессы считать изотермическими. Изменением объема жидкости при растворении газа, испарением воды и атмосферным давлением можно пренебречь.

Вертикальный сосуд с поршнем массы m; под поршнем слой газа высотой h, ниже — вода.

Примечание. Растворимость газов пропорциональна внешнему парциальному давлению этого газа над поверхностью жидкости (закон Генри).

Отговори

Решение

Давление газа, находящегося между жидкостью и поршнем, пропорционально массе последнего $P = \dfrac{mg}{S}$ , где $S$ - площадь поперечного сечения сосуда. По закону Генри, количество углекислого газа, растворенного в воде, пропорционально этому давлению $\nu_s = \alpha VP$ (где $V$ - объем жидкости в сосуде), следовательно, количество газа между поршнем и жидкостью зависит от давления по закону $\nu = \nu_0 - \alpha VP$ , где $\nu_0$ - общее количество углекислого газа в сосуде. Записывая уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в свободном состоянии

\frac{mg}{S}hS = \left(\nu_0 - \alpha V\frac{mg}{S}\right)RT, \qquad (1)

видим, что масса поршня и высота столба газа связаны соотношением

mh = a - bm, \qquad (2)

где $a, b$ - некоторые постоянные величины, которые легко выразить через заданные в условии данные

\begin{cases} m_0h_0 = a - bm_0 \\ m_1h_1 = a - bm_1 \end{cases}; \quad\Rightarrow a = \frac{m_1m_0}{m_1 - m_0}(h_0 - h_1); \quad b = \frac{m_0h_0 - m_1h_1}{m_1 - m_0}.

Поршень достигнет жидкости (весь газ растворится в воде), при массе поршня

m = \frac{a}{b} = \frac{m_1m_0(h_0 - h_1)}{m_0h_0 - m_1h_1}. \qquad (3)

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf