Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

Простейший модулированный радиосигнал может быть описан функцией $E = E_0\cos\omega_0t(1 + a\cos\omega_1t)$ , где $\omega_0$ - несущая частота, $\omega_1$ - частота модуляции (частота полезного сигнала), причем $\omega_0 \gg \omega_1$ , $a, E_0$ - постоянные величины, определяющие амплитуду и глубину модуляции сигнала. Скорость распространения электромагнитной волны $c$ зависит от ее частоты (из-за дисперсии) по приближенному закону $c(\omega) = c_0 - \gamma(\omega - \omega_0)$ , где $c_0$ - скорость распространения волны с частотой $\omega_0$ , $\gamma$ - известная малая постоянная $(c_0 \gg \gamma\omega_0)$ . Определите скорость распространения полезного сигнала (скорость распространения огибающей) в данных условиях.

Подсказки

\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2};

2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B).

Отговори

Решение

Представим сигнал в виде суммы трех гармонических составляющих

E = E_0\cos\omega_0t(1 + a\cos\omega_1t) = E_0\cos\omega_0t + \frac{aE_0}{2}\cos(\omega_0 - \omega_1)t + \frac{aE_0}{2}\cos(\omega_0 + \omega_1)t. \qquad (1)

Распространение монохроматической волны в пространстве вдоль оси $x$ описывается функцией

E(t,x) = E_0\cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{\lambda}x\right) = E_0\cos\left(\omega t - \frac{\omega}{c}x\right), \qquad (2)

где $c$ - скорость распространения волны с частотой $\omega$ . Применим эту формулу к сигналу (1), учитывая формулу для скорости распространения волн

E(t,x) = E_0\cos\left(\omega_0t - \frac{\omega_0}{c_0}x\right)\omega_0t + \frac{aE_0}{2}\cos\left((\omega_0 - \omega_1)t - \frac{(\omega_0 - \omega_1)x}{c_0 + \gamma\omega_1}\right) + \frac{aE_0}{2}\cos\left((\omega_0 + \omega_1)t - \frac{(\omega_0 + \omega_1)x}{c_0 - \gamma\omega_1}\right)

Далее упростим это выражение, используя малость величин $\dfrac{\omega_1}{\omega_0}, \dfrac{\gamma\omega_1}{c_0} \ll 1$ . Тогда

\frac{(\omega_0 - \omega_1)x}{c_0 + \gamma\omega_1} = \frac{x\omega_0}{c_0}\cdot\frac{1 - \frac{\omega_1}{\omega_0}}{1 + \gamma\frac{\omega_1}{c_0}} \approx \frac{x\omega_0}{c_0}\left(1 - \frac{\omega_1}{\omega_0} - \gamma\frac{\omega_1}{c_0}\right);

\frac{(\omega_0 + \omega_1)x}{c_0 - \gamma\omega_1} \approx \frac{x\omega_0}{c_0}\left(1 + \frac{\omega_1}{\omega_0} + \gamma\frac{\omega_1}{c_0}\right);

Воспользуемся теперь обратным преобразованием от суммы косинусов к их произведению

E(t,x) = E_0\cos\left(\omega_0t - \frac{\omega_0}{c_0}x\right)\left(1 + a\cos\left(\omega_1t - \frac{\omega_0}{c_0}x\left(\frac{\omega_1}{\omega_0} + \gamma\frac{\omega_1}{c_0}\right)\right)\right).

Скорость распространения сигнала можно найти из условия постоянства фазы (полагая ее равной, например, нулю). Окончательно получаем, что искомая скорость распространения огибающей (полезного сигнала)

c = \frac{x}{t} = \frac{\omega_1}{\frac{\omega_0}{c_0}\left(\frac{\omega_1}{\omega_0} + \gamma\frac{\omega_1}{c_0}\right)} = \frac{c_0}{1 + \gamma\frac{\omega_0}{c_0}} \approx c_0\left(1 - \gamma\frac{\omega_0}{c_0}\right).

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf