Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

В данной задаче вам необходимо построить модель явления светоиндуцированного дрейфа в газах. В некоторых условиях возможно медленное смещение одной из компонент смеси газов под действием света. Причем этот дрейф может быть направлен как в направлении распространения света, так и в противоположном направлении.

Мы рассмотрим этот эффект в смеси, состоящей из атомарного водорода и гелия, причем концентрация водорода значительно меньше концентрации гелия (который используется в качестве буферного газа). Температура смеси T=100K, давление $p = 1{,}0\cdot 10^4\,\text{Па}$ .

Смесь облучается плоской монохроматической световой волной.

4.1 Используя полуклассическую теорию атома водорода Бора, найдите зависимость радиуса атома водорода (в качестве радиуса атома рассматривается радиус боровской орбиты) от главного квантового числа $n$ . Рассчитайте радиус атома в основном и первом возбужденном состоянии. Чему равен радиус атома при n=1000?

Напоминаем. Согласно правилу квантования Бора, стационарными являются орбиты, для которых выполняется условие $mvr = n\hbar$ ( $m$ - масса электрона, $v$ - его орбитальная скорость, $r$ - радиус орбиты, $n$ - главное квантовое число).

4.2 Получите формулу для оценки средней длины свободного пробега $\Lambda$ атома водорода. Приведите численную оценку длины свободного пробега атома водорода, находящегося в основном состоянии, в рассматриваемой смеси. Во сколько раз изменится длина свободного пробега при переходе атома в первое возбужденное состояние?

Диаметр атома гелия примите равным 0,2нм.

4.3 Рассчитайте частоту электромагнитного излучения $\nu_0$ , поглощаемого атомом водорода при переходе из основного в первое возбужденное состояние.

4.4 Покажите, что частота излучения, воспринимаемая атомом, движущимся со скоростью $V$ навстречу электромагнитной волне частоты $\nu_0$ , может быть рассчитана по приближенной формуле $\nu = \nu_0\left(1 + \dfrac{V}{c}\right)$ , где $c$ - скорость света.

4.5 Частота падающего излучения превышает частоту перехода из основного в первое возбужденное состояние атома водорода на $\Delta\nu \approx 1\cdot 10^{10}\,\text{с}^{-1}$ . С какой скоростью $V^*$ должен двигаться атом водорода, чтобы он мог поглотить квант падающего излучения?

4.6 Линии поглощения атомов имеют конечную ширину, то есть атом поглощает излучение не только строго резонансной частоты $\nu_0$ (определяемой разностью уровней энергии), но и частот, которые отличаются от частоты $\nu_0$ на некоторую малую величину $\delta\nu$ (эта величина называется шириной линии поглощения). Для перехода атома водорода из основного в первое возбужденное состояние эта величина составляет $\delta\nu \approx 2\cdot 10^8\,\text{с}^{-1}$ . Учитывая, что в рассматриваемой газовой смеси, скорости атомов водорода различаются, определите долю атомов водорода, которые поглощают излучение, частота которого превышает $\nu_0$ на величину $\Delta\nu \approx 1\cdot 10^{10}\,\text{с}^{-1}$ . Считайте, что интенсивность излучения такова, что $\eta \approx 1\%$ атомов, для которого выполняются условия поглощения, переходит в возбужденное состояние.

Функция распределения $f(v_x)$ атомов водорода по величине проекции скорости $v_x$ при температуре T=100K показана на рисунке.

Напоминаем. Величина $f(v_x)\Delta v_x$ равна относительной доле молекул, компоненты скорости $v_x$ которых лежат в интервале $[v_x, v_x + \Delta v_x]$ .

График функции распределения f(Vx)·10^3, (м/с)^-1 по проекции скорости Vx·10^-3, м/с: колоколообразная кривая с максимумом около 0,42 при Vx = 0, ось Vx от −3 до 3, сетка.

4.7 Оцените среднюю скорость дрейфа водорода в рассматриваемой смеси при ее облучении электромагнитной волной, описанной в предыдущем разделе.

Для оценки, считайте, что для возбужденных молекул длина свободного пробега пренебрежимо мала. При столкновении возбужденного атома он переходит в основное состояние.

4.8 Получите формулу для зависимости скорости дрейфа от величины $\Delta\nu$ отстройки частоты падающего излучения от резонансной частоты поглощения $\nu_0$ , в рамках рассматриваемой модели. Постройте схематический график этой зависимости.

заряд электрона	$e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{Кл}$
масса электрона	$m = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{кг}$
скорость света	$c = 2{,}998\cdot 10^8\,\text{м}/\text{с}$
постоянная Планка	$\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1{,}054\cdot 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}$
постоянная Больцмана	$k = 1{,}381\cdot 10^{-23}\,\text{Дж}/\text{К}$
газовая постоянная	$R = 8{,}314\,\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{моль})$
электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{Ф}/\text{м}$

Отговори

Решение

Тема этой задачи предложена студентом 1 курса физического факультета БГУ Юрием Дежко.

4.1. Записывая уравнение динамики для движения электрона (все обозначения стандартные)

\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2} \qquad (1)

и правило квантования $mrv = n\hbar$ , находим радиусы боровских орбит

r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}n^2 = r_1n^2. \qquad (2)

где $r_1 \approx 5{,}3\cdot 10^{-11}\,\text{м}$ - радиус первой боровской орбиты. В первом возбужденном состоянии $r_2 \approx 2{,}1\cdot 10^{-10}\,\text{м}$ , для $n = 1000$ $r \approx 5\cdot 10^{-5}\,\text{м}$ , то есть порядка 0,05мм.

4.2 Оценку длины свободного пробега $\Lambda$ можно получить путем следующих рассуждений: в цилиндре длиной $\Lambda$ и радиусом $(r_1 + r_0)$ (где $r_1, r_0$ - радиусы атомов водорода и гелия), в среднем должен находится один атом гелия, поэтому

Цилиндр длиной λ вдоль траектории атома водорода радиуса r1; внутри цилиндра атом гелия радиуса r2.

\pi(r_1 + r_0)^2\Lambda\gamma = 1,

где $\gamma$ - концентрация атомов гелия. Из этого соотношения находим

\Lambda \approx \frac{1}{\pi(r_1 + r_0)^2\gamma}. \qquad (3)

Концентрацию молекул гелия найдем из уравнения состояния идеального газа

p = \gamma kT,

$k$ - постоянная Больцмана. Таким образом, получаем окончательную формулу для оценки длины свободного пробега

\Lambda \approx \frac{kT}{\pi(r_1 + r_0)^2p}. \qquad (4)

Численная оценка длины свободного пробега для атома водорода в заданных условиях $\Lambda \approx 2\cdot 10^{-6}\,\text{м}$ . При переходе в первое возбужденное состояние $(n = 2)$ радиус атома водорода возрастает в 4 раза поэтому длина свободного пробега уменьшается в $\dfrac{\Lambda_1}{\Lambda_2} = \dfrac{(4r_1 + r_0)^2}{(r_1 + r_0)^2} \approx 4$ раза.

4.3 Частота излучения определяется разностью энергий состояний, между которыми происходит переход

\nu = \frac{E_1 - E_2}{h}, \qquad (5)

где $h$ - постоянная Планка. Энергии состояний могут быть вычислены по формуле

E_n = \frac{mv_n^2}{2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r_n} = -\frac{me^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}, \qquad (6)

которая следует из теории Бора. Таким образом, искомая частота излучения

\nu_0 = \nu_{1\to 2} = \frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 4\pi\hbar^3}\left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) \approx 2{,}4\cdot 10^{15}\,\text{с}^{-1}.

4.4 При движении приемника навстречу волне, одна длина волны $\lambda$ (которая связана с частотой соотношением $\lambda = \dfrac{c}{\nu_0}$ ) пройдет через приемник за время $\tau = \dfrac{\lambda}{c + V}$ . Понятно, что это время является периодом колебаний, воспринимаемым источником, поэтому воспринимаемая частота может быть рассчитана по формуле

\nu = \frac{1}{\tau} = \frac{\nu_0}{c}(c + V) = \nu_0\left(1 + \frac{V}{c}\right). \qquad (7)

4.5 Из формулы (7) следует, что доплеровский сдвиг частоты равен $\Delta\nu = \nu_0\dfrac{V}{c}$ . Такой сдвиг достигается при скорости

V^* = c\frac{\Delta\nu}{\nu_0} \approx 1{,}3\cdot 10^3\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.

4.6 Ширине линии поглощения $\delta\nu$ соответствует интервал скоростей $\delta V = c\dfrac{\delta\nu}{\nu_0} \approx 50\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ . Из приведенного графика найдем значение функции распределения для скорости $V^* = 1{,}3\cdot 10^3\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ : $f \approx 0{,}18\cdot 10^{-3}\left(\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right)^{-1}$ . Поэтому доля молекул, которые могут поглотить падающее излучение равна $f\delta V \approx 0{,}009$ (т.е. около 1%), учитывая вероятность поглощения, найдем долю возбужденных молекул $\xi = \eta f(V^*)\delta V \approx 9\cdot 10^{-5}$

4.7 При оговоренных приближениях, следует считать, что возбужденные атомы сразу останавливаются. Выделим эту группу атомов (они имеют скорости мало отличающиеся от величины $V^* = c\dfrac{\Delta\nu}{\nu_0} \approx 1{,}3\cdot 10^3\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ ), обозначим их число $\delta N = \xi N$ . Средняя скорость остальных молекул (их число $N - \delta N$ практически равно полному числу молекул) и будет равна скорости дрейфа $V_{\text{др.}}$ . При отсутствии возбуждения средняя скорость смещения равна нулю, поэтому выполняется соотношение

NV_{\text{др.}} + \delta NV^* = 0.

Отсюда находим среднюю скорость дрейфа $V_{\text{др}} = -\dfrac{\delta N}{N}V^* = -\xi V^* \approx -0{,}1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ . Знак минус указывает, что дрейф направлен в сторону, противоположную скорости атомов, поглощающих свет.

4.8 Из предыдущих разделов следует, что скорость определяется формулой

V_{\text{др}} = -\eta f(V^*)\delta V\cdot V^*,

где $V^* = c\dfrac{\Delta\nu}{\nu_0}$ - скорость атомов, для которых падающее излучение является резонансным, поэтому

V_{\text{др}} \approx -\eta\delta Vc\frac{\Delta\nu}{\nu_0}f\left(c\frac{\Delta\nu}{\nu_0}\right).

Положительным считается направление, противоположное направлению падающего света. Схематический график этой зависимости имеет вид $-xf(x)$ и показан на рисунке.

Схематический график скорости дрейфа V_др от отстройки Δν: нечетная кривая вида −x f(x), положительный максимум при Δν < 0 и отрицательный минимум при Δν > 0.

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf