Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

Боковая поверхность длинного цилиндра радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плоскостью заряда $\sigma$ . Внутри цилиндра расположено непроводящее кольцо радиуса $a$ , массы $m$ , несущее заряд $q$ . Ось кольца совпадает с осью цилиндра. Кольцо может свободно вращаться вокруг собственной оси, независимо от цилиндра. Цилиндр раскручивают до угловой скорости $\omega_0$ . Чему при этом станет равной угловая скорость вращения кольца? В каком направлении оно будет вращаться?

Цилиндр с поверхностной плотностью заряда σ, вращающийся с угловой скоростью ω0; внутри на оси кольцо радиуса a с массой m и зарядом q.

Отговори

Решение

Вращение заряженного цилиндра эквивалентно существованию кругового электрического тока. Как известно, индукция магнитного поля внутри соленоида рассчитывается по формуле

B = \mu_0nI, \qquad (1)

где $n$ - плотность намотки, $I$ - сила тока через обмотку. Произведение $nI$ можно рассматривать как поверхностную плотность тока - заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины боковой поверхности цилиндра. При вращении равномерно заряженного цилиндра поверхностная плотность тока может быть представлена в виде $\sigma v = \sigma R\omega$ , где $\omega$ - угловая скорость вращения цилиндра.

Следовательно, в соответствии с формулой (1) индукция магнитного поля внутри вращающегося заряженного цилиндра определяется выражением

B = \mu_0\sigma R\omega. \qquad (2)

При изменении скорости вращения (что неизбежно во время раскручивании) изменяется величина индукции поля, что в следствие явления электромагнитной индукции приводит к возникновению вихревого электрического поля. По закону Фарадея скорость изменения магнитного потока равна ЭДС индукции возникающего в контуре. Принимая во внимание осевую симметрию задачи и считая магнитное поле однородным, этот закон можно выразить в виде уравнения

2\pi rE = -\pi r^2\frac{\Delta B}{\Delta t} = -\pi r^2\mu_0\sigma R\frac{\Delta\omega}{\Delta t}, \qquad (3)

из которого следует выражение для напряженности вихревого электрического поля

E = -\pi r^2\frac{\Delta B}{\Delta t} = -\frac{r\mu_0\sigma R}{2}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}. \qquad (4)

Это поле действует на заря кольца, приводя к появлению момента сил, раскручивающего кольца. Корректное рассмотрение сил, действующих на отдельные малые элементы кольца, приводит к следующему выражению для изменения его угловой скорости

mr\frac{\Delta\omega_1}{\Delta t} = qE. \qquad (5)

Подставим выражение для напряженности вихревого поля (4) в уравнение (5), получим

\frac{\Delta\omega_1}{\Delta t} = -\frac{\mu_0\sigma Rq}{2m}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}. \qquad (6)

Как следует из этого уравнения угловые ускорения цилиндра и кольца пропорциональны, следовательно (с учетом нулевых начальных условий), пропорциональны и угловые скорости вращения цилиндра и кольца, то есть

\omega_1 = -\frac{\mu_0\sigma Rq}{2m}\omega_0. \qquad (7)

Знак минус в полученном выражении указывает, что при одноименных зарядах кольца и цилиндра, кольцо будет вращаться в сторону, противоположную вращению цилиндра, в полном соответствии с правилом Ленца.

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf