BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.3

• $v = \sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0aE^2(l^2 - l_0^2)}{m}}$

Под действием внешнего электрического поля шарики преобретут электрические заряды, которые будут изменяться по мере изменения расстояния между шариками. Взаимодействие этих зарядов с электрическим полем приведет к появлению сил, которые и будут разгонять шарики. Введем ось $X$, как показано на рисунке и найдем зависимость величины зарядов шариков от их координат. Понятно, что шарики будут двигаться симметрично, а их заряды будут равны по модулю и противоположны по знаку.

Заряды шариков найдем из условия равенства их потенциалов

В этом соотношении учтено, что радиусы шариков малы, поэтому взаимовлияние зарядов шариков друг на друга пренебрежимо мало. Из соотношения (1) следует, что

Сила, действующая на каждый шарик, пропорциональна их координате и равна

Из полученного соотношения следует, что скорости шариков будут максимальны, когда они разъедутся на максимальное расстояние. Работа силы, действующей на шарик, равна его кинетической энергии: $A = \dfrac{mv^2}{2}$. Ее можно подсчитать графически, как площадь под графиком зависимости силы от координаты шарика.

Простой подсчет приводит к следующему результату