Съдържание

BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2002

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Мозырь, 2002 год

Условие

В вертикальную стену вбит гвоздь $A$ , к которому с помощью невесомой нерастяжимой нити длиной $l$ прикреплен небольшой массивный шарик. Нить с шариком отклоняют до горизонтального положения и отпускают без толчка. В процессе движения нить цепляется за гвоздь $C$ и начинает частично наматываться на него. Укажите множество точек на стенке, в которых можно разместить гвоздь $C$ , так чтобы в процессе движения шарик совершил полный оборот вокруг этого гвоздя. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нить длиной l подвешена в точке A с шариком на конце; сбоку от нити отмечена точка C (второй гвоздь).

Отговори

Решение

Будем задавать расположение гвоздя $C$ с помощью полярных координат: $r$ - расстояния от него до точки подвеса $A$ и $\beta$ - угла между вертикалью и отрезком $AC$ . Траектория шарика состоит из дуги окружности радиуса $l$ (до касания нити о гвоздь) и соприкасающейся окружности радиуса $l - r$ (после того, как нить начала наматываться на гвоздь). Чтобы шарик сделал полный оборот вокруг гвоздя, необходимо согласно 2 закону Ньютона, что бы в верхней точке окружности выполнялось условие

Схема движения: точка подвеса A, нить длиной l, гвоздь C на расстоянии r под углом β к вертикали, окружность радиуса l−r вокруг C, верхняя точка D со скоростью V.

\frac{mv^2}{l-r} \ge mg. \qquad (1)

Так как шарик сохраняет свою механическую энергию, то его скорость в этой точке можно найти из равенства

\frac{mv^2}{2} = mg(r\cos\beta - l + r), \qquad (2)

где $(r\cos\beta - l + r)$ изменение высоты шарика. Объединяя (1) и (2), получим неравенство

\frac{2mg(r\cos\beta - l + r)}{l-r} \ge mg \qquad (3)

Заштрихованная область допустимых положений гвоздя между дугой r = 3l/(2cosβ + 3) и окружностью r = l.

и преобразуем его к виду

r \ge \frac{3l}{2\cos\beta + 3}. \qquad (4)

Линия ограничивающая эту область является дугой эллипса. Кроме того, понятно, что $r < l$ (граница этой области - окружность). Область, точки которой удовлетворяют условию задачи, показана на рисунке.

Оригинал в Архива: 2002problems.pdf · официални решения: 2002solutions.pdf