BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1

• 1 рад

  $\varphi_0 = 1$ рад $\approx 57^{\circ}$.

Крутильные колебания диска описываются функцией

где $\varphi$ - угол отклонения от положения равновесия, $\varphi_0$ - угловая амплитуда колебаний, $\omega$ -круговая частота колебаний. Рассмотрим движение произвольной точки диска, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения. В произвольном положении ее ускорение складывается из двух составляющих: тангенциальной $\vec a_\tau$ - направленной по касательной к траектории и связанной с изменением модуля скорости движения;
нормальной $\vec a_n$ - направленной к центру вращения и связанной с изменением направления вектора скорости, которая в данном случае является центростремительным ускорением.

Из закона движения (1) следует, что угловая скорость вращения изменяется по закону $\Omega = -\omega\varphi_0\sin\omega t$, а угловое ускорение

В положениях максимального отклонения скорости рассматриваемой точки равны нулю, поэтому равно нулю и нормальное ускорение. Следовательно, в этих положениях полное ускорение совпадает с тангенциальным

При прохождении положения равновесия скорость точки максимальна, поэтому тангенциальное ускорение равно нулю, а полное ускорение равно нормальному

Приравнивая модули ускорений $a_1, a_2$ находим, что требуемое условие будет выполняться для произвольной точки диска при единичной угловой амплитуде колебаний $\varphi_0 = 1\,\text{рад} \approx 57^{\circ}$.