BelPhO 2002, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.5

• При $U < U_0 = \sqrt{\frac{R_0\beta}{4\alpha}}$: $t_1 = \frac{1}{2\alpha}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}}\right)$; иначе установившейся температуры нет.

а) размерности коэффициентов следуют из вида приведенных формул: $[R_0] = \text{Ом}$; $[\alpha] = \text{град}^{-1}$; $[\beta] = \dfrac{[P]}{[t]} = \dfrac{\text{Вт}}{\text{град}}$.

б) В установившемся режиме мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока через проводник (которая определяется законом Джоуля-Ленца), равна мощности теплоты, отдаваемой проводником в окружающую среду

Это уравнение является квадратным относительно неизвестной установившейся температуры. Решение этого уравнения имеет вид

где обозначено $U_0 = \sqrt{\dfrac{R_0\beta}{4\alpha}}$.

В зависимости от приложенного напряжения $U$, уравнение (1) имеет либо два корня (при $U < U_0$); либо один корень (при $U = U_0$); либо корней не имеет (при $U > U_0$).

Чтобы уяснить физический смысл полученных результатов и выбрать нужное значение корня представим уравнение (1) в графической форме: изобразим примерные графики зависимости рассматриваемых мощностей от температуры проводника.

Прямая 1 является зависимостью мощности теплоты, отдаваемой в среду, кривые 2,3,4 -зависимости мощностей, выделяемых в проводнике, построенные при разных значениях напряжения источника.

Кривая 2 соответствует наличию двух корней $t_1, t_2$ уравнения 1. Можно заметить, что корень $t_1$ является устойчивым: при $t < t_1$ мощность, выделяющаяся в проводнике, превосходит мощность, отдаваемую в среду, поэтому проводник будет нагреваться; при $t > t_1$ ситуация обратная, поэтому проводник будет остывать до температуры $t_1$. Корень $t_2$ - неустойчив: при $t < t_2$ проводник будет остывать до температуры $t_1$; при $t > t_2$ проводник будет разогревать до бесконечности, так на этом этапе мощность, выделяемая в проводнике, возрастает быстрее мощности, отдаваемой в среду.

Кривая 3 построена для случая единственного корня, который как видно из графика неустойчив - проводник будет разогреваться.

Отсутствие корней иллюстрирует кривая 4 - в этом случае отсутствует равновесное значение температуры - при любом ее значении проводник разогревается быстрее, чем остывает.

Таким образом, при $U < U_0$ установившаяся температура определяется формулой $t_1 = \dfrac{1}{2\alpha}\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{U^2}{U_0^2}}\right)$, если начальная температура проводника меньше, чем $t_2 = \dfrac{1}{2\alpha}\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{U^2}{U_0^2}}\right)$. В остальных случаях установившейся температуры не существует - проводник неограниченно разогревается. Примерный график рассмотренной зависимости $t(U)$ показан на рисунке.

в) зависимость силы тока от напряжения легко получить, используя закон Ома и зависимость температуры от приложенного напряжения:

Примерный график этой зависимости $I(U)$ также показан на рисунке.