Съдържание

BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Витебск, 2003 год

Условие

Молодой, но талантливый физик Федя сконструировал переменный резистор, состоящий из двух трубок изготовленных из одинакового материала. Внешний радиус одной из них практически совпадает с внутренним диаметром второй, поэтому одна трубка может двигаться внутри другой. Для облегчения скольжения Федя смазал их солидолом.

Две трубки, вставленные одна в другую: узкая трубка слева входит в широкую справа; длина перекрывающейся части обозначена x.

Проведя элементарные расчеты, Федя получил очевидный результат: сопротивление резистора должно линейно зависеть от длины перекрывающейся части трубок $x$ . (Федя - хороший математик, поэтому никаких математических ошибок в его расчетах не было!)

Однако проведенный эксперимент привел к парадоксальному на первый взгляд результату: во-первых, сопротивление резистора оказалось значительно больше рассчитанного, во-вторых, это сопротивление оказалось обратно пропорциональным величине $x$ .

1. Воспроизведите расчеты, проведенные Федей. Какую линейную функцию он получил?

2. Объясните результаты эксперимента. Получите формулу, описывающую полученные экспериментальные результаты.

Необходимые параметры установки задайте самостоятельно.

Отговори

Решение

Основная ошибка, допущенная «изобретателем», заключалась в том, что он не учел электрического сопротивления контакта между трубками.

Если пренебречь этим сопротивлением, то общее сопротивление резистора рассчитывается по формуле

\begin{aligned} R_{теор.} &= \rho\left(\frac{L_1 - x}{S_1} + \frac{x}{S_1 + S_2} + \frac{L_2 - x}{S_2}\right) = \\ &= \rho\left(\frac{L_1}{S_1} + \frac{L_2}{S_2}\right) - \rho\left(\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_1 + S_2} + \frac{1}{S_2}\right)x \end{aligned}, \qquad (1)

где $L_1, L_2$ - длины трубок, $S_1, S_2$ - площади их торцов, $\rho$ - удельное электрическое сопротивление материала трубок. Как видно, эта зависимость действительно линейна.

Если же сопротивление контакта значительно превышает сопротивления самих трубок, то зависимость сопротивления от величины $x$ будет иной (электрический ток по смазке протекает перпендикулярно поверхности трубок)

R_{эксп.} = \rho_1\frac{h}{2\pi r x}, \qquad (2)

где $h$ - ширина зазора между трубками, $r$ - внешний радиус внутренней трубки, $\rho_1$ - удельное электрическое сопротивление смазки. Эта зависимость обратно пропорциональная.

Оригинал в Архива: 2003problems.pdf · официални решения: 2003solutions.pdf