Съдържание

BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Витебск, 2003 год

Условие

Грузы m1 и m2 на горизонтальных поверхностях, нить от них идет через неподвижные блоки 1 и 2 на краях поверхностей вниз к подвижному блоку 3, к оси которого подвешен груз m0; справа стрелка g вниз.

В установке, показанной на рисунке, массы грузов равны $m_0 = 0{,}25\,кг$ , $m_1 = 0{,}55\,кг$ , $m_2 = 0{,}75\,кг$ . Грузы связаны легкой нитью, переброшенной через систему блоков. Блоки 1,2 неподвижные, блок 3 подвижный (к его оси прикреплен нижний груз), все блоки невесомы, радиус блока 3 равен $r = 2{,}3\,см$ . Найдите скорости всех грузов и угловую скорость блока 3 через время $\tau = 0{,}22\,с$ после начала движения. Трением грузов о горизонтальные поверхности и в осях блоков пренебречь, считать, что нить движется по блокам без проскальзывания.

Ускорение свободного падения считать равным $g = 9{,}8\,\dfrac{м}{с^2}$

Отговори

Решение

Запишем основной закон динамики для каждого их грузов в проекции на вертикальную ось с учетом условий невесомости нити и блоков, а также отсутствия трения в осях блоков:

\begin{aligned} m_1 a_1 &= T \\ m_2 a_2 &= T \\ m_0 a_0 &= m_0 g - 2T \end{aligned}, \qquad (1)

Все обозначения стандартные и очевидные. Поскольку трение грузов о плоскость отсутствует, то в горизонтальном направлении система является замкнутой, т.е. положение ее центра масс не может измениться по горизонтали. С учетом этого получаем следующее уравнение

m_1 a_1 = m_2 a_2. \qquad (2)

Кроме того, учтем кинематическую связь между ускорениями грузов для подвижного блока

a_1 + a_2 = 2a_0. \qquad (3)

Выразив из (2) - (3) значения $a_1 = \dfrac{2m_2}{m_1 + m_2}a_0$ ; $a_2 = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}a_0$ и подставив их в (1) найдем

\begin{aligned} T &= \frac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2}a_0 \ ; \\ a_0 &= \frac{m_0(m_1 + m_2)}{m_0(m_1 + m_2) + 4m_1 m_2}g = 0{,}16g = 1{,}6\,\frac{м}{с^2} \ ; \\ a_1 &= \frac{2m_0 m_2}{m_0(m_1 + m_2) + 4m_1 m_2}g = 0{,}19g = 1{,}9\,\frac{м}{с^2}; \\ a_2 &= \frac{2m_0 m_1}{m_0(m_1 + m_2) + 4m_1 m_2}g = 0{,}13g = 1{,}3\,\frac{м}{с^2}. \end{aligned}

Зная ускорения всех грузов, найдем их скорости через время $\tau$ после начала движения системы

\begin{aligned} \upsilon_0 &= a_0\cdot\tau = 0{,}35\,\frac{м}{с} = 35\,\frac{см}{с}; \\ \upsilon_1 &= a_1\cdot\tau = 0{,}42\,\frac{м}{с} = 42\,\frac{см}{с}; \\ \upsilon_2 &= a_2\cdot\tau = 0{,}28\,\frac{м}{с} = 28\,\frac{см}{с}. \end{aligned}

Для нахождения угловой скорости $\omega$ вращения блока 3 заметим, что поскольку веревка нерастяжима, то скорости движения $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ могут быть представлены в виде

\begin{aligned} \upsilon_1 &= \upsilon_0 + \omega\cdot r \\ \upsilon_2 &= \upsilon_0 - \omega\cdot r \end{aligned}, \qquad (4)

где $r$ — радиус блока. Из (4) находим

\omega = \frac{\upsilon_1 - \upsilon_2}{2r} = 3{,}0\,\frac{рад}{с}.

Оригинал в Архива: 2003problems.pdf · официални решения: 2003solutions.pdf