Съдържание

BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Витебск, 2003 год

Условие

В последнее время появились медицинские грелки, разогрев которых происходит за счет кристаллизации жидкости, находящейся внутри грелки. Кристаллизация инициируется с помощью катализатора (в этом случае кристаллизация проходит в широком диапазоне температур).

Внутренний объем грелки представляет собой параллелепипед размерами $a \times h \times l$ . Кристаллизация начинается с одного из торцов, граница отвердевшей области движется с малой постоянной скоростью $v$ . Найдите зависимость температуры грелки от времени (с начала кристаллизации). Чему равна максимальная температура грелки?

Параллелепипед с размерами l (длина), a (ширина), h (высота); левая темная часть подписана «твердое тело», правая светлая — «жидкость».

Удельная теплота кристаллизации равна $\lambda$ , удельная теплоемкость рабочего вещества в жидком состоянии равна $C_0$ , а в твердом состоянии на $\eta = 10\%$ меньше, начальная температура равна $t_0$ , изменением плотности вещества, теплоемкостью сосуда и потерями теплоты в окружающую среду пренебречь. Считайте, что в любой момент времени температура во всех точках грелки одинакова (вследствие высокой теплопроводности вещества).

Рекомендуем в ходе решения задачи (при необходимости) использовать приближенную формулу $\dfrac{1}{1+z} \approx 1 - z$ , погрешность которой при $z \le 0{,}1$ не превышает 1%

Отговори

Решение

Пусть в некоторый момент времени $^1$ $\tau$ длина отвердевшей части равна $x = v\tau$ . За последующий малый промежуток времени $\Delta t$ в ходе кристаллизации выделится количество теплоты

\Delta q = \lambda\rho a h\Delta x = \lambda\rho a h v\Delta t, \qquad (1)

где $\rho$ - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на $\Delta t$ градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул

\Delta q = \left(C_0\rho a h(l - x) + C_0(1 - \eta)\rho a h x\right)\Delta t. \qquad (2)

Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса

\left(C_0\rho a h(l - x) + C_0(1 - \eta)\rho a h x\right)\Delta t = \rho a h v\Delta\tau \qquad (3)

следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что $x = v\tau$ ):

\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \frac{\lambda v}{C_0\left(l - \eta v\tau\right)}. \qquad (4)

Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой, приведенной в условии задачи,

\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \frac{\lambda v}{C_0\left(l - \eta v\tau\right)} = \frac{\lambda v}{C_0 l\left(1 - \dfrac{\eta v\tau}{l}\right)} \approx \frac{\lambda v}{C_0 l}\left(1 + \frac{\eta v\tau}{l}\right) = \frac{\lambda v}{C_0 l} + \frac{\lambda v^2\eta}{C_0 l^2}\tau. \qquad (5)

Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем

t = t_0 + \frac{\lambda v}{C_0 l}\tau + \frac{\lambda v^2\eta}{C_0 l^2}\cdot\frac{\tau^2}{2}. \qquad (6)

Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы.

Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем $\tau = \dfrac{l}{v}$ ,

t_{max} = t_0 + \frac{\lambda}{C_0}\left(1 + \frac{\eta}{2}\right). \qquad (7)

$^1$ Мы используем для обозначения времени символ $\tau$ , что бы не путать с температурой $t$ .

Оригинал в Архива: 2003problems.pdf · официални решения: 2003solutions.pdf