BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4

• 1. $\bar V = F_0/\beta_1$, $\bar t = m/\beta_1$; 2. $\bar V = \sqrt{F_0/\beta_2}$, $\bar t = m/\sqrt{F_0\beta_2}$; 3. при $V < u$: $F_{сопр.} = 4mnSuV$; при $V > u$: $F_{сопр.} = 2mnS(u^2 + V^2)$.

1. Уравнение второго закона Ньютона для движения в вязкой среде имеет в данном случае вид

Из этого уравнения следует, что ускорение изменяется с течением времени, причем с ростом скорости ускорение уменьшается. При достижении равенства силы сопротивления и силы $F_0$, ускорение обращается в нуль. Следовательно, скорость установившегося движения $\bar V$ определяется соотношением

Качественный вид зависимости скорости от времени показан на рисунке.

Для оценки времени достижения установившейся скорости, положим, что тело движется с постоянным ускорением (равным ускорению в начальный момент времени $a_0 = \dfrac{F_2}{m}$) до тех пор, пока скорость не достигнет значения (2):

Этот способ получения оценки проиллюстрирован на следующем рисунке.

Отметим, что рассматриваемая зависимость точно описывается функцией $v = \dfrac{F_0}{\beta_1}\left(1 - exp\left(-\beta_1 t\right)\right)$.

2. Рассмотрение этой части задачи полностью аналогично предыдущей:

• уравнение движения

• скорость установившегося движения

• графика зависимости скорости от времени качественно не отличается от рассмотренного ранее;

• время достижения установившейся скорости (обратите внимание - в этом случае это время зависит от действующей силы)

Отметим, что в данном зависимость скорости от времени точно описывается функцией $v = \sqrt{\dfrac{F_0}{\beta_2}}\cdot\dfrac{1 - exp(t - \alpha t)}{1 + exp(-\alpha t)}$, где $\alpha = 2\dfrac{\sqrt{F_0\beta_2}}{m}$.

3. Сила сопротивления возникает из-за столкновений поршня с движущимися частицами, которые сообщают поршню импульс.

Рассмотрим случай малой скорости поршня $V < u$. О переднюю грань поршня ударятся частицы, которые движутся навстречу поршню, число этих столкновений за промежуток времени $\Delta t$ рассчитывается по формуле

В результате столкновения проекция скорость частицы на направление движения поршня изменяется от $-u$ до $(u + 2V)$ - это утверждение легко доказать перейдя в систему отсчета, связанную с поршнем. Итак, в результате одного столкновения поршень получит импульс

Следовательно, полный импульс, полученный передней гранью поршня, равен

Аналогично, можно подсчитать импульс, который получит поршень, от частиц, которые ударяются о заднюю грань поршня (разумеется, это частицы, догоняющие поршень)

Таким образом, полный импульс, полученный поршнем равен разности

Учитывая, что действующая сила равна импульсу, полученному в единицу времени, получим выражение для силы сопротивления

Как видно, в рассмотренной модели сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня.

В случае больших скоростей $V > u$, следует учесть, что передняя грань поршня будет сталкиваться не только с частицами, которые движутся ему навстречу, но и частицами движущимися в том же направлении, что и поршень (который их догоняет). Столкновений же с задней гранью не будет. В остальном же расчет переданного импульса остается прежним и приводит к результату

А сила сопротивления в этом случае равна

и зависит от квадрата скорости.

Заметим, что молекулы реальных газов имеют различные скорости, поэтому указать для них точную границу между «малой» и «большой» скоростью невозможно.

График зависимости силы сопротивления от скорости представляет собой участок прямой и соприкасающуюся с ней параболу.