Съдържание

BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Витебск, 2003 год

Условие

Магнит движется со скоростью V по стержню к кольцу радиуса a; расстояние от магнита до центра кольца z; подписи «Магнит», «стержень», «кольцо».

При движении в магнитном поле в проводниках возникают токи Фуко, приводящие к появлению сил, так называемой, «магнитной вязкости». Попытайтесь рассчитать эту силу в одном конкретном и не очень сложном случае. Маленький постоянный кольцевой магнит движется с постоянной скоростью $V$ по длинному прямому стержню, находящемуся на оси тонкого неподвижного кольца радиуса $a$ . Электрическое сопротивление кольца равно $R$ , его индуктивностью можно пренебречь.

Магнитное поле магнита в произвольной точке $A$ удобно описывать с помощью следующих координат: $r$ - расстояние от центра магнита то рассматриваемой точки, $\theta$ - угла между осью магнита и направлением на точку $A$ . Вектор магнитной индукции легко разложить на составляющие: $\vec{B}_r$ - радиальную, $\vec{B}_\theta$ - азимутальную. Эти компоненты поля зависят от координат по законам

B_r = b\frac{2\cos\theta}{r^3}; \qquad B_\theta = b\frac{\sin\theta}{r^3}.

Для наглядности силовые магнитные линии такого поля показаны на рисунке.

Магнит на горизонтальной оси; луч r под углом θ к оси; в конце луча составляющие поля B_r вдоль луча и B_θ перпендикулярно ему.

Картина силовых линий магнитного поля маленького магнита (диполя), расположенного в центре рисунка.

Найдите силу, действующую со стороны кольца на движущийся магнит, в точке, отстоящей на расстоянии $z$ от центра кольца.

Отговори

Решение

При изменении магнитного потока через проводящий контур в нем возникает ЭДС индукции, приводящая к появлению электрического тока. Эти токи создают свое магнитное поле, которое взаимодействует с движущимся магнитом, вследствие чего и появляются силы «вязкого трения». Существует достаточно простой метод расчета этих сил: работа сил трения в точности равна количеству Джоулевой теплоты индукционных токов. Поэтому решение данной задачи сводится к вычислению мощности индукционного тока в кольце с последующим расчетом силы вязкости.

Магнит в вершине конуса, опирающегося на кольцо радиуса a на расстоянии z; образующая r под углом θ к оси; сферическая поверхность Ω с площадкой ΔS и радиальной составляющей поля B_r.

Вычислим магнитный поток через кольцо. Этот поток удобно рассчитывать через участок сферической поверхности $\Omega$ , опирающейся на кольцо, с центром, находящимся в центре магнита. На этой поверхности радиальная составляющая магнитного поля является нормальной, поэтому магнитный поток через малую площадку $\Delta S$ равен $\Delta\Phi = B_r\Delta S$ . Поток через контур вычисляется как сумма потоков через все малые площадки на рассматриваемом участке сферы

\Phi = \sum_i B_{ri}\Delta S_i = \sum_i b\frac{2\cos\theta_i}{r^3}\Delta S_i = \frac{2b}{r^3}\sum_i \Delta S_i\cos\theta_i. \qquad (1)

Можно заметить, что $\Delta S_i\cos\theta_i$ является площадью проекции площадки $\Delta S_i$ на площадь кольца. Поэтому сумма, стоящая в формуле (1), равна площади кольца $\pi a^2$ . По теореме Пифагора радиус сферы равен $r = \sqrt{a^2 + z^2}$ . Следовательно, поток через кольцо определяется формулой

\Phi = \frac{2\pi b a^2}{\left(a^2 + z^2\right)^{3/2}}. \qquad (3)

Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна производной от магнитного потока по времени

E = -\Phi' = \frac{6\pi a^2 b z V}{\left(a^2 + z^2\right)^{5/2}}. \qquad (4)

При выводе последнего соотношения учтено, что производная от $z$ равна скорости движения магнита $V$ . По закону Джоуля-Ленца вычислим мощность теплоты, выделяющейся в стержне

P = \frac{E^2}{R} = \frac{1}{R}\left(\frac{6\pi a^2 b z V}{\left(a^2 + z^2\right)^{5/2}}\right)^2 = \frac{36\pi^2 a^4 b^2 z^2}{R\left(a^2 + z^2\right)^5}V^2. \qquad (5)

Равная ей мощность, развиваемая силами вязкости, рассчитывается «по определению» $P = FV$ . Из равенства найденных мощностей получаем выражение для магнитной силы

F = \frac{36\pi^2 a^4 b^2 z^2}{R\left(a^2 + z^2\right)^5}V. \qquad (6)

Оригинал в Архива: 2003problems.pdf · официални решения: 2003solutions.pdf