Съдържание

BelPhO 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2003

Белорусская республиканская физическая олимпиада. Витебск, 2003 год

Условие

В глубинах Вселенной был обнаружен однородный астероид сферической формы радиуса $R$ , состоящий из редких химических элементов. Измерения с помощью высокоточного гравиметра (прибора для измерения величины ускорения свободного падения $g$ ) показали, что ускорение свободного падения во всех точках на его поверхности было одинаково по модулю $|\vec{g}| = g_0$ . В результате добычи полезных ископаемых внутри астероида в некотором месте образовалась сферическая полость, не выходящая на его поверхность. Повторные измерения с помощью высокоточного гравиметра показали, что вследствие разработки астероида значения $g$ изменились: минимальное ускорение свободного падения на его поверхности $g_{min} = 0{,}938\,g_0$ достигается в некоторой точке $A$ (уменьшение $g$ составило $\eta_1 = 6{,}2\,\%$ ), а максимальное значение $g_{max} = 0{,}993\,g_0$ — в диаметрально противоположной точке $B$ на его поверхности (уменьшение $g$ составило $\eta_2 = 0{,}70\,\%$ .) Определите по этим данным положение и глубину залегания $a$ центра полости, а также ее радиус $r$ .

Круг (астероид) с отмеченными диаметрально противоположными точками A (вверху) и B (внизу).

Отговори

Решение

Решение: наименьшее значение ускорения свободного падения $g_{min} = 0{,}938\ g_0$ на поверхности астероида достигается в точке, где верхний край полости подходит к поверхности астероида ближе всего. Следовательно, центр полости (точка $C$ на рисунке) расположен на отрезке $AO$ на некоторой неизвестной глубине $AC = a$ , где точка $O$ — центр однородного астероида.

Сечение астероида радиуса R с центром O; на отрезке AO расположена сферическая полость радиуса r с центром C; A и B — диаметрально противоположные точки поверхности.

Масса изъятой из астероида в процессе разработки породы $m = \rho\dfrac{4}{3}\pi r^3$ , где $\rho$ — плотность вещества астероида, $r$ — искомый радиус полости. Для решения задачи мысленно «добавим» выработанную породу обратно. Тогда на всей поверхности астероида должно «восстановится» прежнее значение ускорения свободного падения — $g_0$ . Но с другой стороны для точки $A$ можем записать

g_0 = g_{min} + \Delta g_A,

где $\Delta g_A$ — ускорение, создаваемое добавленной массой. С учетом закона гравитации Ньютона получаем

\Delta g_A = G\frac{4/3\,\pi r^3\rho}{a^2}.

Аналогичное равенство можно записать и для точки $B$ астероида

g_0 = g_{max} + \Delta g_B,

где $\Delta g_B = G\dfrac{4/3\,\pi r^3}{(2R - a)^2}$ . Таким образом, для нахождения глубины залегания центра полости $a$ и ее радиуса $r$ имеем систему уравнений

g_{min} = g_A = \frac{4}{3}G\pi\rho\left(R - \frac{r^3}{a^2}\right) \qquad (1)

g_{max} = g_B = \frac{4}{3}G\pi\rho\left(R - \frac{r^3}{(2R - a)^2}\right). \qquad (2)

Выражая из первого уравнения

r^3 = \frac{3}{4G\pi\rho}a^2(g_0 - g_{min})

и подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем

a = 2R\frac{\sqrt{g_0 - g_{max}}}{\sqrt{g_0 - g_{max}} + \sqrt{g_0 - g_{min}}} = 2R\frac{\sqrt{\eta_2}}{\sqrt{\eta_2} + \sqrt{\eta_1}}. \qquad (3)

Соответственно, для радиуса полости имеем

r = R\sqrt[3]{\frac{4(g_0 - g_{max})(g_0 - g_{min})}{g_0\left(\sqrt{g_0 - g_{max}} + \sqrt{g_0 - g_{min}}\right)^2}} = R\sqrt[3]{\frac{4\eta_2\eta_1}{\left(\sqrt{\eta_2} + \sqrt{\eta_1}\right)^2}}. \qquad (4)

Подставляя в (3) и (4) числовые данные, находим

a = 0{,}503\,R \approx \frac{R}{2}; \quad r = 0{,}250\,R \approx \frac{R}{4}.

Оригинал в Архива: 2003problems.pdf · официални решения: 2003solutions.pdf