BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. «Блики на дне»

• 2. 2 m
• 4. 3.5 cm

Очевидно, что блики на дне возникают благодаря преломлению на изогнутой поверхности воды, при этом «горбы» служат своеобразными собирающими линзами, а впадины – рассеивающими линзами. Следовательно, для описания бликов необходимо рассмотреть ход лучей после преломления на поверхности. Заметим, что волна движется перпендикулярно плоскости падения лучей, поэтому можно изучать ход лучей в одной вертикальной плоскости, совпадающей с направлением распространения волны. Кроме того, можно считать, что лучи падают на поверхность вертикально (точнее, можно принимать во внимание только вертикальные составляющие солнечных лучей).

1. Зададим уравнение профиля волны (рис.1):

2. Пусть в точке A волны с координатой $x$ вектор нормали $\vec{n}$ к поверхности волны образует с вертикалью угол $\varphi$ (рис. 2). Найдем зависимость этого угла от координаты. Понятно, что этот угол равен углу, который образует касательная с горизонталью. Как известно, тангенс угла наклона касательной графику функции к оси аргумента равен первой производной от изучаемой функции. Так как в рассматриваемой задаче длина волны значительно больше ее амплитуды, угол $\varphi$ можно считать малым, следовательно, здесь и далее тангенс и синус этого угла можно принимать равными самому углу. Таким образом, искомая зависимость имеет вид

Заметим, что максимальное значение этого угла $\varphi_{\max} = a\frac{2\pi}{\lambda} \approx 0{,}3$. При этом погрешности замен синусов и тангенсов на значение самого угла не превышает $4\%$.

3. Пусть вертикальный луч попадает на поверхность воды в точке $A$ с координатой $x$. В этой точке вектор нормали направлен под углом $\varphi$ к вертикали, следовательно, он и является углом падения. Найдем угол $\alpha$ между лучом преломленным и вертикалью (рис.3). Учитывая, что все углы малы и используя закон преломления, найдем угол преломления $\gamma = \frac{\varphi}{n}$, тогда искомый угол можно рассчитать по формуле

4. Учитывая, что рассматриваемые глубины значительно превышают амплитуду волны, последней можно пренебречь при определении координаты точки падения луча на дно. Как легко заметить (рис.3)

5. Запишем функцию зависимости $x_1$ от $x$ в явном виде

Схематические графики этой функции при различных значениях глубины показаны на рис.4 (номера графиков даны в порядке возрастания глубины).

6. Самой существенной особенностью данных зависимостей является переход от монотонного возрастания к появлению максимумом и минимумов.

Действительно, рассмотрим малый интервал (полоску) на дне шириной $\Delta x_1$, на нее попадут лучи, которые пересекли поверхность воды в соответствующем интервале $\Delta x$. Понятно, что чем больше $\Delta x$, тем больше света попадет на полоску $\Delta x_1$ (рис. 5). Поэтому средняя освещенность полоски дна возле точки $x_1$ пропорциональна отношению $\frac{\Delta x}{\Delta x_1}$. Поэтому чем более полога зависимость $x_1\left(x\right)$ в данной точке, тем ее освещенность больше. Вблизи максимума она становится очень большой, а вблизи точки перегиба еще больше. Поэтому максимум интенсивности будет достигаться на той глубине, где график зависимости $x_1\left(x\right)$ будет иметь точки перегиба.

Кстати, на больших глубинах для расчета интенсивности в некоторых точках дна требуется провести суммирование по трем, пяти и большему числу интервалов на поверхности. Не будем заниматься этой работой. Достаточно, что мы получили метод расчета глубины максимальной фокусировки - в зависимости $x_1\left(x\right)$ должны появляться точки перегиба. В приближении малых углов эта зависимость имеет вид (5)

Производная от этой функции равна

При малых глубинах $h$ функция (5) экстремумов не имеет (рис. 5), при $h$ больших некоторого критического значения появляются точки минимумов и максимумов. Это произойдет тогда, когда производная функция (6) будет принимать в некоторых точках нулевые значения. Иными словами, когда уравнение $x_1' = 0$ имеет корни, в зависимости $x_1\left(x\right)$появляются экстремумы - граничное значение между этими двумя случаями - точки перегиба. Итак, условие фокусировки получает абстрактную математическую формулировку - у функции (6) появляются нули!

Как следует из анализа функции (5) если первая производная равна нулю при $x = x_1 = 0$, эта точка будет точкой перегиба, то есть именно в этом случае яркость полосок будет максимальна. Для определения этой «оптимальной» глубины необходимо решить простейшее уравнение

из которого находим глубину «фокусировки»

Альтернативный способ.

Рассмотрим фокусировку лучей, попадающих в малую область вблизи максимума волны. Для этого будем считать в функции (5) $x$ малым, тогда эта функция упрощается

Далее замечаем, что если коэффициент в скобках обращается в нуль, то все падающие лучи собираются в точке $x_1 = 0$ , то есть фокусируются. Из этого непосредственно следует выражение (8).

8. Глубина водоема $h = 0{,}5\text{м}$ является малой по сравнению с найденной глубиной фокусировки. Поэтому в этом случае функция (5) экстремумов не имеет, поэтому, как было отмечено ранее, освещенность дна пропорциональна $\frac{\Delta x}{\Delta x_1} = \frac{1}{x_1'}$, и может быть записана в виде

Строго говоря, в это выражение следует подставить $x$ как функцию $x_1$, выраженную из функции (5). Однако, учитывая малость углов отклонения лучей от вертикали, малость глубины, для построения схематического графика можно положить $x_1 \approx x$. Требуемый график показан на рис. 6.

9. При глубине озера $h = 2{,}5\text{м}$ функция (5) имеет достаточно близко расположенные максимумы и минимумы. Следовательно, на этой глубине каждая яркая полоса «раздваивается», так как каждому минимуму и максимуму соответствует резкое увеличение освещенности. Схематически структура пучка показана на рис.7.

Для определения положения максимума освещенности $x_1$ на дне необходимо решить систему уравнений (5) – (6). Из условия обращения производной (6) в нуль находим

Подставляя это значения в функцию (5), находим

Окончательно, ширина полоски равна $\Delta x_1 = 2x_1 \approx 3{,}5\text{см}$.