BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. «Шарик на привязи»

• 1. 0 s
• 2. 0.65 s
• 3. а) $\tau = 0$; б) $t \approx 0{,}73\ \mathrm{c}$
• 4. 1.4 s
• 5. $r_2 = \left(\sqrt{16\pi^2 + 1} - 1\right)r_1 \approx 58\ \text{см}$, $\beta \ge \frac{g}{2r_1} \approx 98\ \mathrm{c}^{-2}$

Рассмотрим общий случай движения шарика вокруг цилиндра, т.е. движение с угловым ускорением $\beta$ и в поле тяжести $mg$. Переход к частным случаям очевиден – либо $\beta \to 0$, либо $mg \to 0$ (либо и то и другое).

Положение шарика будем задавать с помощью угла $\varphi$ - между горизонталью и отрезком, соединяющим центры вала и шарика. Зададим также угол $\alpha$ между радиусами вала, направленными к точке касания вала и шарика и точке, в которой нить касается поверхности вала (см. рис.). Понятно, что угол $\alpha$ полностью определяется отношением радиусов вала и шарика. Так $\cos\alpha = \frac{r_1}{r_1 + r_2} = \frac{5}{8}$, или $\alpha \approx 51^{\circ} \approx 0{,}896\ \text{рад}$.

Шарик движется под действием: силы тяжести $m\vec{g}$; силы натяжения нити $\vec{T}$; силы реакции $\vec{N}$.

В общем случае ускорение шарика можно разложить на нормальную

и тангенциальную составляющие

Запишем уравнение второго закона Ньютона

в проекциях на радиальное и касательное направления

При отрыве шарика от поверхности вала сила реакции устремляется к нулю (до этого она должна быть положительной). Выразим из системы уравнений (4) значение силы реакции $N$:

Из этого соотношения определим функцию

знак которой определяет условие отрыва (повторим, отрыв произойдет, когда положительная функция уменьшится до нуля).

1. Когда вал расположен вертикально $\left(g = 0\right)$и начинает вращаться с постоянной $\left(\beta = 0\right)$ угловой скоростью функция (5) имеет вид

она отрицательна при любых значениях параметров системы. Следовательно, шарик оторвется от поверхности вала сразу после начала движения, т.е. в этом случае $\tau = 0$.

2. Если вал расположен вертикально $\left(g = 0\right)$ и начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, функция (5) имеет вид

Учитывая, что угловая скорость зависит от времени по закону $\omega = \beta t$, заключаем, что сначала эта функция положительна, а затем обращается в нуль. Следовательно, шарик сначала будет прижат к поверхности вала, а затем оторвется от нее, причем это произойдет в момент времени

3а. Если вал расположен горизонтально, начинает вращаться с постоянной $\left(\beta = 0\right)$ угловой скоростью, первоначально нить расположена вертикально (при $t = 0 \quad \varphi = -\alpha$), функция (5) имеет вид

и в начальный момент времени отрицательна. Следовательно, шарик сразу после начала движения, т.е. при $\tau = 0$.

3б. Если же первоначально нить горизонтальна (при $t = 0 \quad \varphi = \frac{\pi}{2} - \alpha$), то значение функции (9) при $t = 0$

Поэтому первоначально шарик будет прижат к поверхности вала. Отрыв произойдет, когда эта функция обратится в нуль (причем следует выбрать минимальный положительный корень этой функции), т.е

4. Наконец, нам необходимо рассматривать полную функцию (5). Вал расположен горизонтально, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, первоначально нить расположена вертикально ($\omega = \beta t$, $\varphi = \frac{\beta t^2}{2} - \alpha$); эта функция имеет вид

В начальный момент времени эта функция положительна, следовательно, шарик прижат к поверхности вала, для определения момента отрыва нам необходимо найти минимальный положительный корень этой функции. Аналитическое решение уравнения $F = 0$ невозможно, необходимо использовать приближенные численные методы. Для анализа решения обозначим $\varphi + \alpha = \frac{\beta t^2}{2} = \xi,$ тогда $\omega = \beta t = \sqrt{2\beta\xi}$ и перепишем уравнение $F = 0$ в виде

или обозначая постоянные коэффициенты $k = \frac{2\beta\left(r_1 + r_2\right)\cos\alpha}{g} \approx 3{,}06 \cdot 10^{-2}$; $b = \frac{\beta\left(r_1 + r_2\right)\sin\alpha}{g} \approx 1{,}91 \cdot 10^{-2}$, получим уравнение, которое выглядит достаточно простым,

Построим схематические графики функций, стоящих в правой и левой частях уравнения (13)

Вид графиков показывает, что уравнение (13) имеет положительный корень при любых параметрах системы. При заданных в условии числовых данных наклон графика линейной зависимости мал, поэтому следует ожидать, что корень уравнения $\xi^*$ близок к $\pi$, поэтому это число можно взять в качестве начального приближения корня, которое потом можно уточнить любым методом. В результате получается следующее значение корня $\xi^* \approx 3{,}067$, соответствующее значение времени отрыва $\xi^* \approx 3{,}067\tau = \sqrt{\frac{2\xi^*}{\beta}} \approx 1{,}4\mathrm{c}$.

Заметим, что шарик оторвется, совершив чуть меньше, чем пол оборота.

5. Чтобы шарик до отрыва совершил полный оборот необходимо, первый положительный корень уравнения был равен $2\pi$. Изобразим графически такую ситуацию. Как следует из этого рисунка, для реализации описанной ситуации должны выполняться следующие соотношения

в этом случае $2\pi$ будет являться корнем уравнения;

при выполнении этого условия будут отсутствовать меньшие корни.

Используя выражения для коэффициентов, условие (14) и его решение приобретут вид

Из условия (15) находим