BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10.4. 10 класс. Задание 4. «Суперпозиция»

• а) $h = \frac{mV_0^2}{2eE}$
• б) $R = \frac{mV_0}{eB}$
• в) $h = \sqrt{\left(\frac{mE}{eB^2}\right)^2 + \left(\frac{mV_0}{eB}\right)^2} - \frac{mE}{eB^2}$

а) В момент максимального удаления от поверхности пластины на расстояние $h$ скорость (кинетическая энергия) электрона обратится в нуль. Следовательно, согласно закону сохранения энергии можем записать

где $m$ — масса электрона, а $e$ — его заряд.

б) При движении электрона под действием силы Лоренца он будет описывать окружность радиуса $R$. Согласно основному закону динамики можем записать

Следовательно, в данном случае максимальное удаление от поверхности пластины будет равно

в) В случае одновременного действия двух полей магнитное поле будет «поворачивать» электрон, а электрическое — тормозить. Направим ось $Ox$ вдоль пластины, а ось $Oy$ — перпендикулярно. Если электрон оказался на расстоянии $h$ от поверхности пластины, то согласно закону сохранения энергии

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$ может быть записан в виде

Умножив уравнение (5) на $\Delta t$ и просуммировав с учетом начальных условий, получим

Поскольку в момент максимального удаления электрона от пластины $V_Y = 0$, то из (6) получим, что скорость $V$ электрона в этот момент

Подставляя выражение (7) в закон сохранения энергии (4), получим квадратное уравнение для определения значения $h$. Положительный корень этого уравнения дает искомое значение максимального удаления электрона

Отрицательный корень можно отбросить, так как электрон «на обратном пути» не сможет проскочить через пластину. Отметим, что в этом случае траектория электрона — арка эпициклоиды.