Съдържание

BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10.3. 10 класс. Задание 3. «Конденсатор»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

Минская городская олимпиада по физике 2004 год

Условие

Две параллельные круглые пластины конденсатора: верхняя σ1, нижняя σ0; точка A у края посередине между ними. — Рис.1

Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых пластин, расположенных параллельно друг другу. Точка А находится внутри конденсатора, расстояния от данной точки до пластин одинаковы (рис.1). Поверхностная плотность заряда на нижней пластине поддерживается постоянной и равной $\sigma_0$ , поверхностную плотность заряда верхней пластины $\sigma_1$ изменяют, проводя при этом измерения потенциала $\varphi$ и модуля напряженности электрического поля $E$ в точке А. По полученным экспериментальным данным были построены графики исследованных зависимостей. Однако по непонятным причинам на графике зависимости потенциала осталась всего одна точка (рис. 2), а на графике зависимости модуля напряженности две точки (рис. 3).

Рис.2: координатная сетка φ (отн. ед.) от σ1/σ0 (деления −2…3) с единственной точкой φ0 при σ1/σ0 = 1. Рис.3: сетка E (отн. ед.) от σ1/σ0 (деления −2…2) с точками E1 при −1 и E2 при 1. — Рис.2, Рис.3

1. Получите аналитические зависимости потенциала и модуля напряженности электрического поля в точке А от отношения $\gamma = \frac{\sigma_1}{\sigma_0}$ поверхностных плотностей зарядов на пластинах. (Выразите эти зависимости через «сохранившиеся» данные $\varphi_0$ , $E_1$ , $E_2$ )

2. Постройте графики этих зависимостей.

Отговори

Решение

Потенциал, создаваемый нижней пластиной в точке А не меняется, тогда как потенциал, создаваемый верхней пластиной при неизменной «геометрии» пропорционален $\sigma_1$

\varphi_1 = \alpha\sigma_1 = \alpha\gamma\sigma_0. \qquad (1)

Поскольку при $\gamma = 1$ заряды пластин одинаковы, то потенциалы, создаваемые ими в точке А, в этом случае также равны. Отсюда следует, что

\alpha = \frac{\varphi_0}{2\sigma_0}. \qquad (2)

Поскольку потенциалы складываются алгебраически, то искомая зависимость линейна и имеет вид

\varphi(\gamma) = \frac{\varphi_0}{2}(1 + \gamma). \qquad (3)

С напряженностями ситуация несколько «напряженнее». Поскольку при $\gamma = 1$ результирующее поле не исчезло, то это говорит о том, что точка А, находится в зоне т.н. «краевых эффектов», где векторы напряженностей каждой из пластин имеют не только нормальные ( $\vec{E}_{\perp}$ ), но и тангенциальные ( $\vec{E}_{II}$ ) компоненты. Как и в первом пункте следует учесть, что напряженности полей пропорциональны плотностям зарядов, тогда выражения для соответствующих компонент напряженностей примут следующий вид

\begin{aligned} E_{\mathrm{II}}(\gamma) &= \frac{E_2}{2}(1 + \gamma) \\ E_{\perp}(\gamma) &= \frac{E_1}{2}(1 - \gamma) \end{aligned}. \qquad (4)

Соответственно искомая зависимость $E(\gamma)$ может быть найдена с помощью теоремы Пифагора

E(\gamma) = \sqrt{\left(E_{\mathrm{II}}(\gamma)\right)^2 + \left(E_{\perp}(\gamma)\right)^2} = \frac{\sqrt{E_1^2(1 - \gamma)^2 + E_2^2(1 + \gamma)^2}}{2}. \qquad (5)

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

Слева: прямая φ(σ1/σ0), проходящая через точку φ0 при 1 и пересекающая ось абсцисс при −1. Справа: кривая E(σ1/σ0) с минимумом вблизи −1, проходящая через отмеченные точки при −1 и 1.

Оригинал в Архива: 3_etap_2004_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2004_solutions.pdf