Съдържание

BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. 10 класс. Задание 2. «Удвоение и падение»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

Минская городская олимпиада по физике 2004 год

Условие

На конце длинной легкой спицы укреплен небольшой массивный шарик (масса шарика значительно больше массы спицы, радиус шарика значительно меньше длины спицы). Спицу с шариком устанавливают на горизонтальную поверхность под небольшим углом $\alpha$ к вертикали и отпускают. В процессе движения нижний конец спицы остается неподвижным, шарик ударяется о поверхность через время $t_1$ . В середине спицы закрепляют еще один такой же шарик, спицу располагают под тем же углом к вертикали и отпускают. Чему будет равно время падения в этом случае?

Два рисунка: спица, наклоненная на угол α к вертикали, стоит нижним концом на поверхности; слева — с одним шариком на конце, справа — с двумя шариками (на конце и в середине).

Отговори

Решение

Рассмотрим спицу с одним шариком в момент, когда она составляет некоторый угол $\alpha$ с вертикалью. Согласно закону сохранения механической энергии имеем

\frac{mV^2}{2} + mgl\cos\alpha = mgl\cos\alpha_0, \qquad (1)

где $l$ — длина спицы, $m$ — масса шарика, $V$ — его скорость в данный момент, $\alpha_0$ — угол начального отклонения спицы. Из (1), учитывая, что $V = \omega l$ найдем угловую скорость $\omega_1$ спицы в рассматриваемый момент времени

\omega_1 = \sqrt{2\frac{g}{l}(\cos\alpha_0 - \cos\alpha)}. \qquad (2)

Проводя аналогичные рассуждения для случая падения спицы с двумя шариками, получим

\frac{(ml^2 + m\frac{l^2}{4})\omega_2^2}{2} = mg(l + \frac{l}{2})(\cos\alpha_0 - \cos\alpha). \qquad (3)

Выражая из (3) значение угловой скорости $\omega_2$ , получим

\omega_2 = \sqrt{2\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{g}{l}(\cos\alpha_0 - \cos\alpha)}. \qquad (4)

Как видим из (2) и (4) отношение угловых скоростей $\omega_2$ к $\omega_1$ остается постоянным при падении спицы

\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{6}{5}}. \qquad (5)

Это говорит о том, что так же будут соотноситься и средние угловые скорости падения спиц. Следовательно, времена падения будут связаны обратным соотношением

\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{5}{6}} \qquad\Rightarrow\qquad t_2 = t_1\sqrt{\frac{5}{6}}. \qquad (6)

Оригинал в Архива: 3_etap_2004_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2004_solutions.pdf