Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. 11 класс. Задание 2. Электростатические измерения.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

Не секрет, что проведение электростатических измерений, представляет собой достаточно сложную экспериментальную проблему.

В данном задании Вам предстоит описать простой измерительный прибор, состоящий из двух круглых металлических пластин, расположенных параллельно друг другу. Пластины соединены с помощью непроводящих пружинок. Одна из пластин жестко закреплена, вторая может смещаться, оставаясь параллельной первой. В качестве непосредственно измеряемой величины служит величина смещения $x$ подвижной пластины. Радиусы пластин $r = 2{,}0\,\text{см}$ , максимальное смещение подвижной пластинки равно $\Delta x = \pm 1{,}0\,\text{мм}$ , длина пружинок в недеформированном состоянии равна $d_0 = 2{,}0\,\text{мм}$ , их суммарная жесткость равна $k = 0{,}20\,\dfrac{\text{Н}}{\text{м}}$ . Смещение подвижной пластинки измеряется с погрешностью $\delta x \approx 1\cdot 10^{-2}\,\text{мм}$ .

Две круглые параллельные пластины (светлая и темная), соединенные пружинками, на общей горизонтальной оси; под ними двусторонняя стрелка — смещение подвижной пластины.

Электрическая постоянная равна $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}$ .

В рассматриваемой задаче можно пренебречь краевыми эффектами, т.е. электрическое поле между пластинками можно считать однородным.

1. «Измеритель заряда». Пластинки соединяют проводником и подают на них суммарный заряд $q$ . Какие заряды можно измерить с помощью описанного прибора? Чему равна относительная погрешность измерения заряда? Постройте график зависимости смещения подвижной пластинки от величины заряда поданного на прибор.

2. «Измеритель напряжения – электростатический вольтметр». На пластинки подают постоянное электрическое напряжение $U$ . Какие напряжения можно измерять с помощью описанного вольтметра? Постройте график зависимости смещения пластинки от приложенного напряжения.

Отговори

Решение

Так как пластинки одинаковы, то сообщенный заряд $q$ распределится между ними поровну. Электрическая сила, действующая на подвижную пластинку, может быть определена из очевидной цепочки равенств

F = E\frac{q}{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{2} = \frac{1}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{2S}\cdot\frac{q}{2} = \frac{q^2}{8\varepsilon_0 S}. \qquad (1)

Эта постоянная сила отталкивания уравновешивается силой упругости пружинок

F = kx, \qquad (2)

поэтому заряд прибора и смещением пружинки связаны соотношениями

x = \frac{q^2}{8\varepsilon_0 S k}; \qquad q = \sqrt{8\varepsilon_0 S k x}. \qquad (3)

Минимальный заряд, который можно измерить с помощью данного прибора, равен

q_{\min} = \sqrt{8\varepsilon_0 S k\delta x} = 4{,}2\cdot 10^{-10}\,\text{Кл}, \qquad (4)

а максимальный

q_{\max} = \sqrt{8\varepsilon_0 S k\Delta x} = 4{,}2\cdot 10^{-9}\,\text{Кл}. \qquad (5)

Относительная погрешность измерения заряда рассчитывается по формуле

\frac{\Delta q}{q} = \frac{q_x'\delta x}{q} = \frac{\delta x}{2x}, \qquad (7)

она минимальна при максимальном смещении пластинки, при котором составляет $0{,}5\%$ .

График x (мм) от q (нКл) на сетке: парабола от начала координат до x = 1,0 мм при q = 4,2 нКл; по оси q отметки 1–5 и выноска 4,2; по оси x отметки 0,2–1,0.

График зависимости смещения пластинки от величины заряда представляет собой «банальную» параболу

x = 5{,}6\cdot 10^{-2} q^2,

где $x$ - измерена в миллиметрах, а $q$ в нанокулонах.

При заданном напряжении между пластиками при их относительном смещении измеряется заряд каждой из пластин. В этом случае силу электрического притяжения можно вычислить с помощью следующей цепочки

F = \sigma S\cdot\frac{E}{2} = \varepsilon_0 E S\cdot\frac{E}{2} = S\cdot\frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 S}{2}\left(\frac{U}{d}\right)^2 = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2(d_0 - x)^2}. \qquad (8)

Приравнивая ее к силе упругости пружин, получим уравнение, связывающее смещение пластинки и приложенное напряжение

\frac{\varepsilon_0 S U^2}{2(d_0 - x)^2} = kx. \qquad (9)

Выразить из этого уравнения в явном виде $x$ как функцию $U$ , по меньшей мере, затруднительно. Проанализируем уравнение (9) графически, для чего построим графики зависимостей электрической силы и силы упругости от смещения пластинки.

Три графика F(x) на отрезке [0, d₀], обозначенные а), б), в): растущая кривая электрической силы F_эл. и прямая силы упругости F_упр. из начала координат; в а) прямая пересекает кривую в двух точках x₁ и x₂, в б) не пересекает, в в) касается кривой в точке x₁.

Легко заметить, что в интересующем нас диапазоне $x \in [0, d_0]$ уравнение (9) может иметь либо два корня (а), либо один (в), либо ни одного корня (б). Традиционный анализ устойчивости (электрическая сила стремится увеличить смещение, а сила упругости – уменьшить), показывает, что в случае (а) устойчивым является меньший корень, в случае (в) – корень неустойчив. Отсутствие корней свидетельствует об отсутствии положения равновесия подвижной пластинки, то есть в этом случае никакие измерения невозможны.

Если сложно построить график зависимости $x(U)$ , то можно построить зависимость $U(x)$ ! Выразим из уравнения (9)

U = \sqrt{\frac{2kd_0^3}{\varepsilon_0 S}}\cdot\left(1 - \frac{x}{d_0}\right)\sqrt{\frac{x}{d_0}}. \qquad (10)

Обозначим $A = \sqrt{\dfrac{2kd_0^3}{\varepsilon_0 S}} \approx 170\,B$ , $\xi = \dfrac{x}{d_0}$ и получим «совсем простую зависимость $U = A(1 - \xi)\sqrt{\xi}$ . Построить график этой функции можно с помощью традиционных методов анализа функций. Результат такого построения показан на рисунке.

График x/d₀ от U (В) на сетке от 0 до 70 В: нижняя устойчивая ветвь (сплошная) растет от 0 до 0,33 при U ≈ 65 В, верхняя неустойчивая ветвь (пунктир) идет от 1,0 при U = 0 к той же точке; уровень 0,33 выделен горизонтальной линией и рамкой.

Как было отмечено выше, верхняя ветвь этой зависимости неустойчива, поэтому изображена пунктиром. Из анализа функции (10) следует, что максимальное напряжение, поддающееся измерению достигается при $\xi = 0{,}33$ и равно $U_{\max} \approx 65\,B$ . Минимальное измеримое напряжение рассчитывается при подстановке в функцию (10) минимально измеримого $x = \delta x$ . В этом случае $U_{\min} \approx 12\,B$ .

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf