Съдържание

BelPhO 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. 11 класс. Задание 1. Плавление и кристаллизация.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

2004 г

Условие

На «заре» изучения физики Вы познакомились с количественным описанием процессов плавления и кристаллизации, сейчас Вам предстоит более тщательно рассчитать характеристики этих явлений.

Начнем с «подсказок».

1. Пусть в плоскопараллельном слое однородного вещества температура зависит только от координаты $x$ . Тогда плотность потока теплоты подчиняется закону Фурье

Слой вещества (серая полоса) вдоль оси x; выделен тонкий слой толщиной Δx с температурами T и T + ΔT на границах.

q = -\beta\frac{\Delta T}{\Delta x}, \qquad (1)

где $q$ - плотность потока теплоты (количество теплоты, протекающее через площадку единичной площади в единицу времени), $\Delta T$ - изменение температуры при изменении координаты на величину $\Delta x$ , $\beta$ - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества слоя.

2. При контакте двух веществ, находящихся при разных температурах $T_1$ и $T_2$ через площадку единичной площади в единицу времени перетекает количество теплоты, определяемое приближенным уравнением (в данной задаче считайте, что оно всегда выполняется)

Два соприкасающихся тела: верхнее (темное) при температуре T₁ и нижнее (светлое) при температуре T₂, разделенные горизонтальной границей.

q = -\gamma(T_1 - T_2), \qquad (2)

где $\gamma$ - коэффициент теплоотдачи, зависящий от свойств контактирующих материалов.

При решении задачи Вам могут понадобиться следующие численные данные.

Характеристика	Вода	Лед
Плотность	$\rho_0 = 1{,}00\cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$	$\rho_1 = 0{,}90\cdot 10^3\,\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Температура плавления	-	$t_0 = 0{,}0^{\circ}C$
Удельная теплота плавления	-	$\lambda = 3{,}3\cdot 10^5\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Удельная теплоемкость	$c_0 = 4{,}2\cdot 10^3\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}$	$c_1 = 2{,}1\cdot 10^3\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}$
Коэффициент теплопроводности	$\beta_0 = 0{,}63\,\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot \text{К}}$	$\beta_1 = 2{,}2\,\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot \text{К}}$

Считайте коэффициенты теплоотдачи между водой и льдом и между водой и алюминием одинаковыми и равными $\gamma = 1{,}2\cdot 10^3\,\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot \text{К}}$ .

Будем считать, что плотность воды линейно зависит от ее температуры.

Теперь условие задачи.

1. Пусть противоположные стороны однородной плоскопараллельной пластины толщиной $h$ поддерживаются при постоянных температурах $T_1$ и $T_2$ . Найдите распределение температуры внутри пластины $T(x)$ в стационарном режиме (т.е. когда это распределение не зависит от времени).

2. Пусть пластина, описанная в пункте 1, первоначально находится при температуре $T_1$ . Вторую сторону пластины приводят в тепловой контакт с массивным телом, находящимся при температуре $T_2$ . Оцените время установления стационарного распределения температур в пластине.

Считайте, что температура второй поверхности пластины постоянна и равна $T_2$ .

Дайте численное значение этого времени для ледяной пластинки толщиной $h = 30\,\text{см}$ , граничные температуры ниже температуры плавления льда.

3. «Осень». Пусть температура воздуха над тихим озером опустилась до $t_1 = -10^{\circ}C$ и далее остается постоянной. Считая температуру воды постоянной и равной $t_0 = 0{,}0^{\circ}C$ , найдите зависимость толщины льда, образующегося на поверхности озера, от времени. Чему будет равна толщина льда через неделю, после начала морозов?

Считайте, что температура верхней поверхности льда равна температуре воздуха.

4. «Весна». Пусть температура воздуха над тихим озером поднялась до $t_1 = +10^{\circ}C$ и далее остается постоянной. Считая температуру воды постоянной и равной $t_0 = 0{,}0^{\circ}C$ , найдите зависимость толщины льда, на поверхности озера, от времени, если начальная толщина слоя льда равна $h_0 = 30\,\text{см}$ . За какое время весь лед растает?

Считайте, что температура верхней поверхности воды равна температуре воздуха, и вся талая вода остается на поверхности льда. Нагревом льда за счет поглощения солнечного излучения пренебречь.

5. В широком вертикальном цилиндрическом алюминиевом сосуде (кастрюле) находится лед при температуре $t_0 = 0{,}0^{\circ}C$ . Толщина слоя льда равна $h_0 = 30\,\text{см}$ . Кастрюлю ставят на массивную плиту, температура которой поддерживается постоянной и равной $t_1 = 10^{\circ}C$ . Найдите зависимость толщины слоя льда в кастрюле от времени. За какое время весь лед растает?

Считайте, что температура дна кастрюли равна температуре плиты, и вся талая вода остается в кастрюле. Теплопередачей через боковые стенки и крышку кастрюли можно пренебречь.

Отговори

Решение

В стационарном режиме плотность теплового потока остается постоянной во всех точках внутри пластины

q = -\beta\frac{\Delta T}{\Delta x} = const. \qquad (1)

Из этого условия следует, что температура внутри пластины изменяется по линейному закону. Учитывая значения температур на противоположных сторонах пластины, можно записать

T = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{h} x. \qquad (2)

Пусть для определенности $T_2 > T_1$ . Тогда до установления стационарного режима пластинка площади $S$ должна поглотить количество теплоты

График T(x) для пластины толщиной h: прямая линия от T₁ при x = 0 до T₂ при x = h; уровни T₁ и T₂ отмечены на оси T.

Q = c_1\rho_1 S h\frac{(T_2 - T_1)}{2}. \qquad (3)

Для получения оценки характерного времени установления теплового равновесия примем, что тепловой поток от более нагретой стороны пластины равен потоку в стационарном режиме, тогда за время $\tau$ пластинка получит количество теплоты, равное

Q = \beta_1 S\frac{T_2 - T_1}{h}\tau. \qquad (4)

Приравнивая эти выражения, получим оценку времени установления равновесия

\tau_0 \approx \frac{c_1\rho_1 h^2}{2\beta_1}. \qquad (5)

Подставляя численные характеристики льда, получим $\tau_0 \approx 4\cdot 10^4\,c \approx 11\,\text{час}$ .

При замерзании (кристаллизации) льда выделяется некоторое количество теплоты, которое должно быть перенесено через имеющийся слой льда в окружающий воздух.

Слой льда толщиной h (серый) с температурой t₁ на верхней границе и 0°C на нижней; снизу темной полосой выделен прирост толщины Δh.

Будем считать, что в любой момент времени при любой толщине льда $h$ распределение температуры внутри льда соответствует стационарному (справедливость этого предположения оценим далее). Пусть за малый промежуток времени $\Delta\tau$ толщина льда увеличилась на величину $\Delta h$ , тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид

\lambda\rho_1 S\Delta h = \beta_1 S\frac{\Delta t^{\circ}}{h}\Delta\tau, \qquad (6)

где $\Delta t^{\circ} = -t_1$ разность температур между нижней и верхней границей льда.

Учитывая, что для малых интервалов $h\Delta h = \Delta\left(\dfrac{h^2}{2}\right)$ из уравнения (6) получим

\tau = \frac{\lambda\rho_1 h^2}{2\beta_1\Delta t^{\circ}}. \qquad (7)

Сравнивая это выражение с оценкой времени установления стационарного теплового потока (5), найдем отношение характерного времени установления стационарного режима ко времени намерзания $\dfrac{\tau_0}{\tau_1} = \dfrac{c_1\Delta t^{\circ}}{\lambda} \approx 0{,}06$ . Как следует из этого, время намерзания более чем на порядок превышает время установления стационарного режима, что обосновывает сделанное приближение о квазистационарном потоке через толщу льда. Из соотношения (7) находим зависимость толщины льда от времени

h = \sqrt{\frac{2\beta_1\Delta t^{\circ}}{\lambda\rho_1}\tau}. \qquad (8)

Подстановка численных значений приводит к результату

h = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}2\cdot 10}{3{,}3\cdot 10^5\cdot 0{,}90\cdot 10^3}\cdot 7\cdot 24\cdot 3600} \approx 30\,\text{см}.

При плавлении льда, теплота необходимая для плавления поступает от нагретого воздуха через слой воды посредством теплопередачи. Опять используем квазистационарное приближение. Обозначим толщину льда в произвольный момент времени $\tau$ - $x$ , а толщину слоя воды $h$ . Используя условие сохранения воды, запишем равенство

Слой талой воды толщиной h над слоем льда толщиной x (серый); темной полосой на границе выделено изменение толщины льда Δx.

\rho_1 x + \rho_0 h = \rho_1 h_0, \qquad (9)

из которого следует

h = \frac{\rho_1}{\rho_0}(h_0 - x), \qquad (10)

Пусть за время $\Delta\tau$ толщина льда уменьшилась на величину $\Delta x$ , тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид

\beta_0\frac{t_1}{h} S\Delta\tau = -\lambda\rho_1 S\Delta x. \qquad (11)

Из уравнений (10)-(11) с учетом начальных условий получим соотношение

\frac{(h_0 - x)^2}{2} = \frac{\beta_0 t_1\rho_0}{\rho_1^2\lambda}\tau, \qquad (12)

из которого определим закон изменения толщины льда

x = h_0 - \sqrt{\frac{2\beta_0 t_1\rho_0}{\rho_1^2\lambda}\tau}, \qquad (13)

и время плавления слоя льда

\tau = \frac{\rho_1^2\lambda h_0^2}{2\beta_0 t_1\rho_0} \approx 1{,}9\cdot 10^2\,c \approx 22\,\text{суток}. \qquad (14)

Так как нагрев воды осуществляется снизу, то благодаря конвекции, происходит ее быстрое перемешивание, поэтому можно считать, что температура воды одинакова во всех точках, обозначим эту температуру $t$ . В такой ситуации теплота, поступающая от нагретой плиты, расходуется на плавление льда и нагрев образующейся талой воды. Уравнения теплового баланса для малого промежутка времени $\Delta\tau$ в этом случае имеют вид ( $\Delta x$ - по-прежнему изменение толщины льда за этот промежуток времени)

\gamma(t_1 - t)S\Delta\tau = \gamma(t - t_0)S\Delta\tau + c_0\rho_1 S\Delta x(t - t_0), \qquad (15)

\gamma(t - t_0)S\Delta\tau = \lambda\rho_1 S\Delta x. \qquad (16)

Избавляясь от скорости плавления $\dfrac{\Delta x}{\Delta\tau}$ , получим уравнение для определения температуры воды

t^2 + 2\frac{\lambda}{c_0} t - \frac{\lambda}{c_0} t_1 = 0,

из которого находим температуру воды $t = \sqrt{\left(\dfrac{\lambda}{c_0}\right)^2 + \dfrac{\lambda}{c_0} t_1} - \dfrac{\lambda}{c_0} \approx 4{,}85^{\circ}C$ , которая оказывается постоянной. Следовательно, и скорость плавления льда также постоянна

\frac{\Delta x}{\Delta\tau} = \frac{\gamma t}{\lambda\rho_1}. \qquad (17)

Поэтому толщина льда будет изменяться по линейному закону

x = h_0 - \frac{\gamma t}{\lambda\rho_1}\tau, \qquad (18)

а время плавления рассчитывается по формуле

\tau = \frac{\lambda\rho_1}{\gamma t} h_0 \approx 1{,}5\cdot 10^4\,c \approx 4{,}3\,\text{часа}. \qquad (20)

Оригинал в Архива: 2004problems.pdf · официални решения: 2004solutions.pdf